Question

さはし

5×arc tan1/7+ 2×arc tan 3/79
係数の処理の仕方が分かりません。それぞれα、βでおくところからお願いします。

Answer 1

LUX SIT

以下の式を使うと楽に処理できます.
arctan(a/b)+arctan(c/d)=arctan{(ad+bc)[たすき掛け]/(bd-ac)[分母の積-分子の積]} [覚えやすい形です.]
***
加法定理[証明済のはずです]から, arctan(a/b)+arctan(c/d)=arctan{(a/b)+(c/d)}/{1-(a/b)(c/d)}
=arctan{(ad+bc)/(bd-ac)}[分母・分子にbdを掛けただけです.]
***
5arctan(1/7)+2arctan(3/79)
=3arctan(1/7)+2arctan{(1*79+7*3)/(7*79-1*3)}
=3arctan(1/7)+2arctan(2/11)
=arctan(1/7)+2arctan{(1*11+2*7)/(7*11-1*2)}
=arctan(1/7)+2arctan(1/3)
=arctan{(1*3+1*7)/(7*3-1*1)}+arctan(1/3)
=arctan(1/2)+arctan(1/3)
=arctan{(1*3+1*2)/(2*3-1*1)}
=arctan(1)=π/4.
***
複素平面を使ってもいいでしょう.
(7+i)^5(79+3i)^2
=(7+i)^3{(7+i)(79+3i)}^2
=(7+i)(48+14i)(550+100i)^2
=5000(7+i)(24+7i)(11+2i)^2
=5000(775+425i)(24+7i)
=125000(31+17i)(24+7i)
=125000(625+625i)
=78125000(1+i)なのでπ/4.

哲治

素晴らしい回答をありがとうございます！
逆三角関数については基本的な微分、積分までは知っていました。
でも加法定理や対数形までは学んでいませんでした。
級数展開もかなり複雑な形のようですね。
勉強させていただきありがとうございました。

Answer 2

哲治

効率のいいやり方はわからない。
しかし答え出すだけなら、ご自身で言うようにそれぞれαとβでおけばtanα=1/7,tanβ=3/79
で加法定理でtan(5α+2β)を求めるだけのお話なんで。
wolframalphaで計算したら与式=π/4なんで上のtan(省略)=1となるはずです。