(2)
正の約数の個数が3ということは n = p² (pは素数) しか無い。
総和は p² + p + 1 = 57 なので
p² + p - 56 = 0
(p + 8)(p - 7) = 0 で p>0だから p=7 となる。
ゆえに n = 7² = 49
(3)
正の約数が9個となるのは
n = p⁸
n = pq³ (p,q は素数で、p≠q)
(i) n = p⁸ (pは素数)
2⁸ = 256
3⁸ = 6561 > 300 なので n = 2⁸の1個
(ii) n = pq³ (p,qは素数で p≠q)
q = 2 のとき n = 8p ≦ 300 これを満たすのは p = 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 の 11個
q = 3 のとき n = 27p ≦ 300 これを満たすのは p = 2,5,7,11 の 4個
q = 5 のとき n = 125p ≦ 300 これを満たすのは p = 2 の 1個
q ≧ 7 のとき n ≧ 343p ＞ 300 なので 無し
ゆえに合計 1 + 11 + 4 + 1 = 17個
ごめんなさい。(3) は計算が間違ってました。
(3)
正の約数が9個となるのは
n = p⁸
n = p²q² (p,q は素数で、p＞q)
(i) n = p⁸ (pは素数)
2⁸ = 256
3⁸ = 6561 > 300 なので n = 2⁸の1個
(ii) n = p²q² (p,qは素数で p＞q)
q = 2 のとき n = 4p² ≦ 300 これを満たすのは p = 3,5,7 の 3個
q = 3 のとき n = 9p² ≦ 300 これを満たすのは p = 5 の 1個
q = 5 のとき n = 25p²≦ 300 これを満たすのは 0個
以降なし
ゆえに合計 1 + 3 + 1 = 5個