Question

anonymous

この問題の解き方を教えてください。

AABCにおいて, AB=x, BC=2, CA=4-x とする。ただし, xは実数とする。
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(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ZABC=120° のとき, *の値と△ABCの外接円の半径を求めよ。
(3) AABC=0 とするとき, cos0 と sin0 の値をxで表せ。
(4) △ABCの面積の最大値と, そのときのxの値を求めよ。

三角比の応用

Answer 1

mo1

参考です。
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(1)三辺が{x，2，4－x}なので、三角形の成立条件より

　(x)＜(2)＋(4－x)　→　x＜3　･･･　①

　(2)＜(4－x)＋(x)　→　全て　･･･　②

　(4－x)＜(x)＋(2)　→　1＜x　･･･　③

　　①，②，③　より、1＜x＜3

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(2){ＡＢ＝x，ＢＣ＝2，ＣＡ＝4－x，∠ＡＢＣ＝120°}

余弦定理を利用し

　x²＋2²－(1/2)･x･2･cos120°＝(4－x)²　を解いて

　　x＝6/5

接弦定理を利用し

　2Ｒ＝(6/5)/sin120＝(6/5)･(2/√3)　を解いて

　Ｒ＝6/5√3＝(2/15)√3

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(3){ＡＢ＝x，ＢＣ＝2，ＣＡ＝4－x，∠ＡＢＣ＝θ}

余弦定理を利用し

　cosθ＝{(x)²＋(2)²－(4－x)²}/{2･(x)･(2)＝(2x－3)/x

三角比の相互関係より、0＜θ＜180に留意し

　sinθ＝√[1²－{(2x－3)/x}²]＝(1/x)√[－3(x²－4x＋3)]

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(4){ＡＢ＝x，ＢＣ＝2，sinθ＝(1/x)√[－3(x－1)(x－3)]}

面積の公式を利用し

　△ＡＢＣ＝(1/2)･(x)･(2)･(1/x)√[－3(x²－4x＋3)]

整理して

　△ＡＢＣ＝√[－3(x－2)²＋3]

1＜x＜3　から

　△ＡＢＣの最大値は、x＝2　のとき、√3

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補足
0＜x≦1、3≦x＜4　のとき、三角形ができません

　例(x＝0.5、4－x＝3.5、2)、(x＝3.5、4－x＝0.5、2)

　　(x＝1、線分ＡＣ上にＢ)、(x＝3、線分ＡＢ上にＣ)

x＝(3/2)のとき∠Ｂ＝90°の直角三角形

x＝2のとき、正三角形

x＝5/2のとき、∠Ｃ＝90°の直角三角形

★ＡＢ＋ＡＣ＝4と和が一定なので、

　Ｂ，Ｃを焦点とする楕円上にあります(両端は含みません)

mo1

隠れている画像が楕円です