✨ Jawaban Terbaik ✨
f(x)＝x³-4xとおく.
曲線f(x)は3次関数であるから,点(1,-3)における接線がy軸と平行になることは無い.
ここで 接線l:y＝ax+b とおく.
f(x)とlの接点が(1,-3)である.
またf(x)とl との交点をP( p,f(p) )と置くと,
その時3次関数
x³-4x-(ax+b)＝0
x³-(a+4)x-b＝0 において解と係数との関係より,
1+1+p＝0 ∴p＝-2
よって
求める面積
S＝∫[-2→1] {x³-4x-(ax+b)} dx
＝∫[-2→1] (x+2)(x-1)²dx
＝-∫[1→-2] (x+2)(x-1)² dx
＝-{-1/12(-2-1)⁴} (∵1/12公式)
＝81/12
＝27/4···(答)
本当に助かりましたありがとうございます😭
補足です.
∫[-2→1]{x³-4x-(ax+b)} dx
＝∫[-2→1](x+2)(x-1)² dx
と変形できるのは,
x＝-2で交点を持ち,
x＝1 で接点を持っているからです.
参考:2つの多項式曲線が接する時,それらの差の関数は接点に重解をもつ
また,
∫[-2→1](x+2)(x-1)² dx
＝-∫[1→-2](x-1)²(x+2) dx
に変形したのは,12公式に持っていくためです.
参考:1/12公式 ∫[α→β] (x-α)²(x-β)dx＝-1/12(β-α)⁴