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(3)はtASA=Sの両辺を行列式をとって考えるだけです。
(4)はGがGL(n,R)の部分集合になっていること、Gの元A,Bに対してABがGの元になっていること、A^(-1)もGの元になっていること、この三つを確かめればGは部分群です。
はい、そういうことです。
あと最初の回答でも書きましたが、Gが部分集合になっていることも述べた方がよいと思います。(これは(3)からすごく当たり前ですが、そのための(3)だと思われます。)
(IV)(3)よりGはGLの部分集合である
(Ⅰ)から(IV)よりGはGLの部分群であるとした方が良いってことですよね？
はい、そうです。
(2)は難しい問題ではないので、もう一度自分で考えてみてください。
(1)と(3)ですが、両方とも直交行列の性質を使います。転置行列が逆行列になっているような行列を直交行列といいます。
直交行列の重要な性質に、各列ベクトルや行ベクトルの絶対値が1であるということ、どの２つの列ベクトルやどの２つの行ベクトルの内積も0になるということ(つまり直交している)というものがあります。これらの性質使えばわかると思います。
(3)では直交行列の行列式は±1であるということも重要です。
その画像で最終的に得られた4つの式がありますが、そのうち上の3つは合っています。最後の式は、ad-bcはAの行列式を表しますが、(1)にAの行列式に関する条件はないので値はいくつになるか分かりません。(ただAは直交行列なので先ほども書いたように、行列式は±1のどちらかになりますが、ここではその情報は使いません。)
その上から３つの方程式と、A(1,1)=(√2,0)から得られる方程式を連立させれば分かると思います。
そうです。
合ってると思います。
間違えました。detC=1なので最後の式の右辺=1です
この方法でも出来ないこともないのかもしれませんが、この連立方程式を解くのはすごく大変ではないでしょうか。
簡単なやり方としては、Cが直交行列であるということを使います。先ほども書いたとおり、直交行列の各列ベクトルや行ベクトルの絶対値は全て1です。なので、まずCの第1列に注目します。すると文字はpしかないので、このベクトルの絶対値が1になるという方程式を立てることによってpに関する二次方程式が得られます。pの値が分かれば、次は第1行に注目します。するとpの値が分かってるので、文字はrだけになります。後はこのベクトルの絶対値に関する二次方程式を作って…というのを繰り返せばp,q,r,s,tの値の候補が得られます。
ここで大事なのは今得られた値は"候補"だということです。直交行列の他の性質として、どの２つの列ベクトルやどの２つの行ベクトルを直交しているというものがあるので、これも満たさないと行けないということです。
こちらに関しては、p,q,r,s,tの値はそれぞれ±の2通りしか出てこないと思いますので、この値が負の数になってれば上手くいくな、というようにゴリ押しで計算する方が楽かもしれません。
あとCの行列式が1でなければならないという条件もあるのでこれにも注意してください。
直交行列の各列ベクトルや行ベクトルの絶対値は全て1というのは1列目に注目すると
2p^2+1/3+1=3=1
としてpについてとくということですか？
そうです。
すなわちp=±1/6になるからプラスとマイナスに場合分けして各列、各行の絶対値の和が1になるように決めていって直交するものを選んでいくってことですか？
ただのタイプミスかもしれませんが、一応p=±1/√6になると思います。
場合分けに関してですが、計算すれば分かると思いますがプラスマイナスで場合分けする必要はないです。
pの値を使うときは全てp^2で使うので、結局±ところは消えてしまいます。
pからtの候補が出たらあとは全ての行、列の内積をとって0になるのが本当の答えってことですよね？
はい、そうです。
あと行列式が1になることにも注意してください。
これは難しいというより、面倒な問題です。
(1)が分かったということなら、正六面体の動かし方が分かったということなので、その動かし方により対角線がどこに移動するかを答えるだけです。
基準するとはどういうことですか？
基準→記述
です。すみません。
記述の仕方は特に決まりは無いと思います。
問題文からして、どの置換がどのように対角線を移動させるかを分かるように書いてありさえすれば正解だと思います。
ただ例を挙げるとしたら、正六面体群は4次対称群に同型なので、対称群の元を書くように答えるのがいいかもしれませんね。この方法で書くとすると恒等置換だったらこうなります。
こういうのを24個記す必要があるということですか？
そういうことだと思います。
数日間に渡って教えて頂いてありがとうございます。とてもよく理解することができました。
お疲れ様でした。
(I)と(Ⅱ)は正解です。
(正確に言うと単位元が部分群に含まれるということを示す必要はありません。なぜならA^(-1)が入ることと、演算が閉じているを示せば、AA^(-1)=Eなので自動的に単位元も部分群の元になるからです。)
(Ⅲ)はA^(-1)St(A^(-1))ではなく、t(A^(-1))SA^(-1)がSに等しいことを示さなくてはいけません。
画像のように示します。