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あなたは、二項定理を理解してますか?
二項定理は数Aの確率分野に入ってる
少し異質な単元です。
だから、あんまり理解できずに
さらっと流してしまった人が
多いんじゃないですか?
二項定理は、
入試問題のキーポイント
でよく使われます。
高得点をとれるかどうかが
左右されるのです。
今回は最初、 二項定理の考え方を3つ紹
介し、最後には教科書に載ってないけど
入試に使われる有名公式を紹介します。
二項定理を完璧に使いこなせるように
なりましょう。

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No.
Date
超重要
☆二項定理の基礎
あなたに質問です。
(a+b) (a+b)を展開できますか?
↓ Yes!!
(a+b) = a +2ab+b2
(a+b)²=Q3+3ab+3ab2+b2
けど(a+b)"はどうですか? (a+b)100 (a+b)1000は?
※全部覚えるのはきつい。
と二項定理を使って解決!!
①
(a+b)" =ncoabo+nciab'+nCzam=262 +
n Cn-1a²b₁- + n C n a ° b "
n-
八十
般項は nakabnt
+α
inkyn
*₁ nCnx a "bu+, nCk a^ b, nCn-k a^b^
この4つならどれでもいいです。(分からなければ無視)
(数列の知識を使うと(a+b)=nCkabak)
K-0
(具体例) (a+b)"を二項定理を使って二項展開しよう!
・4+0=4
3+1.4
2+2=4
(a+b)* = 4Cab + 4C₁ ab° + 4C @ a®b® + 4 Cab² + 4 Coa°b"
1個分減る 1個分増える
1個分増える
ちなみに二項定理の名前の由来は、
→の中に2つ項があるから
(a+b)
_n
第1項 第2項

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No.
Date
☆ パスカルの三角形
パスカルさんの
(a+b)=a+b
三角形」知ってる??
(a+b)² = a² + 2ab+b²
(a+b)=03+3ab +3ab²+bo
(a+b) = a +40b+6ab2+4ab'+b4
(a+b)= a +50°b +1003b2+10ab'+Sab"+b5
2
楽
3乗
4乗
5
パスカルの三角形
なんとこの三角形を書けば、
iCo. ¥Cic
-3C3-
-360-361-362-
400 461 462 463 464
-560 561 562 563 564-565
二項定理の展開式の係数が書ける!
二項定理を使わなくても累乗の数が小さければ、
こっちのほうが素早くとけることもある。
※累乗の数が5乗以上になると大変。
実際に利用することは少ないが、知っていることで
【複数解釈するか(多面的にとらえる)]
をつけることができる
KOKUYO LOOSE-LEAF CAT

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No.
Data
☆組み合わせの記号(nCk)を使う理由
もう1つの解釈の仕方を知ろう。
使うのかを考えてみる。
(例) (a+b) のOBの係数が4C2になる理由。
axa
Axb
abxb
=
ab²
(a+b)(a+b)(a+b)(arb)=(a+b)"
axb
abra abet
=ab
このように( )の中からaとbのどちらをかけるのかを
選択して展開している。
解釈を変えると
回のカード2枚ずつを並べる順列と考えられる!!
(a+b) (a+b) (a+b)(a+b)
@
a
+b1
@ [[b]
La
固
[a
[a
b
b
b
a
同じものを含む順列と考えるため、
4!
4!
@
=4C2
22'
2 (4-2)!
[b]
a
=6通り
1回 回 回 回 回
b
1a
b
[0
との選び方
これを他のパターンでもやってるだけ!!
(例)
a+b°の係数→
@aaa 1通り (400=4Co)
abの係数→ ◎回回→4通り(30=4C3)
展開する際のaとbの選択のやり方
akbnkがko、回がn-kgを並べる順列
"
合計こからから選ぶ 組み合わせ (nCk)になっている
WOKING JOELEN

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Date
☆まとめ&アツのりチャレンジ
ほとめ
二項定理を書けるようになろう。
(a+b)" = n Co a " b + nC₁ a b' + ... + n (n-1 ab" + ncn ab"^
●展開したときの係数nCkは
パスカルの三角形でも求められる。
○組み合わせ記号(nCk)を使う理由は、
( )のaとbの選び方が
合計2のカードからKコ選ぶ組み合わせだから。
アツのりチャレンジ
三項定理の練習課題① 公式を使ってみよう。
(1) (2x-3g)を二項定理とパスカルの三角形で
の2パターンで求めてみよう!!
(2)(x+4)の展開式におけるxの係数
二項定理の練習課題②証明問題にチャレンジ
を求めてみよう!!
(Q)等式nlotnicitycz
-nСn=1+r (n=2".
を証明してくれ!!
ACRIVO (COSE LEAF

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☆(上級編)二項係数の有名公式
No.
Dite
(5)
ここからは二項係数nCrについて
重要な3つの公式を紹介する
難関大受験をする人は
ぜひしっかり理解して使えるようになってくれ!!
(i) nCr=nCn-r
・二項係数の有名公式
(ii) nCr=n-1Cr+n-lCr-1(応用)
(iii) rn Cr = n. n-₁ Cr-1.
(応用)
・「Pが素数で1≦rsP-トのときPCrはpの倍数となる」
(超基本)
4
この3つの公式をそえの証明を使って説明する。
①代数的な証明
組み合わせ的な証明
(i) n Cr = nCn-r 2つの証明
① nCr
=
n!
の
n!
-r! (n-r)! ~ (n-r)! {n-(n-r)}! = n ( n-r
5つのものから3つのものを選ぶ組み合わせは、2つの
(n)
(r=)
(n-r₂)
「選ばないものを選ぶ」組み合わせの数に等しい。
JARAT

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No.
有名公式の証明 ②
(ii) nCr=n-lCr+n-lCr-l
① 代数的証明
(右辺)=n-1Cr- + n-1 Cr-1-
(n-1)!
+
r! (n-1-(r)!
(n-1)!
Date
n!
\{n (k = k? (n-k)!
を用いた。
(n-1)!
(-1) (n-1-r)
rをとりだす
(n-1)!
(r-1)! (n-1-r)!
(n-1)!
(r-1)!(n-i-r)!
n!
r! (n-r)!
(r-1)! {n-l-cr-1)}!
r
(n-r)!
(n-1)
(r-1)! (n-r-1)! m-r)
+
n
n-r
-r (n-r)-
n-r+r
r(n-r)
カートをとりだす
n-r
n
r(n-r)
= n Cr = (12511)
組み合わせ的な証明 (r)
ある親の①~⑤のカードから3枚選ぶ組み合わせを考える。
563
=
(n(r)
=
「⑤を選ばずに残りの4枚から3枚選ぶ組み合わせの数」
(n-1) (ro)
十「図を選び、残りの4枚から2枚選ぶ組み合わせの数」
(n-1³) (r-12).
4C3」
+
「4C2」
5C3
nCr
=
n-1 Cr
+n-lCr-l
KOKUTO A

ページ8:

No..
n!
r (n-r)!
☆有名公式の証明③
(iii) irncr
= n. n-1 Cr-1.
①代数的な証明
(左辺)=ron Cr
=r·
Date
n!
nCk=
を用いた
_k!(n-k)!
= n•
x.(n-1)!
K⋅ (r-1)! (n-r)!
n!=nx(n-1)!と用いた
= n⋅ n₁ Cr-1-
組み合わせ的な証明
(r.)
ある5人から3人選び、そのうちの一人をリーダーにする組み合わせ
(n =)
を考える。
の中から選んでその3人からリーダーを選定する」
(r)
(r₂)
(n₂)
|1
「5人の中から、1人リーダーを選んで残り4人から2人選定する」
(n =)
5C3×3
よって
一般化すると
(n-12) (r-1³).
5
×
4C2
nCrar=n×n-1Cr-1.

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No.
☆(参考)rnCr=nniCrtから分かる
に
素数の有名公式
Pが素数ならばPCrはPの倍数である。
(1≦r≦p-1)
この証明は割と入試頻出です。
Date
難関大受験の人は丸暗記でもいいくらいです。
〔証明]
-PCr=
=
=
P!
(p-r)! r!
.
(P-1)!
Σ· (p-r) (r-1)!
P
TP-1 Cr-1-
よって
両辺にrをかけて
xr
PP-1Cr-1
r.pCr
P-1 Cr-1 (組み合わせ)は整数だから、
右辺はPの倍数
1≦x≦p-lよりはPより小さく、Pは数だから
rxpは互いに素
(左辺)のPCrが因数Pをもち
CKはPの倍数となる