ページ1:

2011.1/28(金)
① f(8) = Sin20+2(sing+CosQ)-1
0≤0<2π
f(日) の Max と min の値を求めよ。
(Coso+ising)"= cosno+isinno
を示せ.
a1=5、anty=n-an
anを求めよ.
Ann
4
01=2、
2an
[anを求めよ.
=
4n+1
a1=1, anty=1+an-2az+393+i+nan
(1) an を求めよ
(2) n≧4のときan>2を示せ
一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする
四面体 OABCを考える。
OA=OB=OC=aであり、a≧1 とする.
四面体 OABCが球Sに内接しているとき、
球Sの半径ra を用いて表せ。

ページ2:

⑦ AABCの内部に点Pがあり、等式
2A+3+4CP=をみたしている。
△PBC: △PCA: △PAB を求めよ.
x.ya.beRが
x+y=1 および a2+l^=2をみたすとき、
ax+by の Max と minを求めよ.
A (21) B(S、S)、C(t.0) とするとき、
AB+ BC + CA の値を最小とする S.tの
値を求めよ。

ページ3:

f(0) = Sin20+2(SinQ+C050)-1
0 ≤ 0 < 2π
f(日) の Maxとmin の値を求めよ.
f()=2sincosQ+2(sin+cos0)-1
sino+coso=t とおくと、
t=12sin(+4)より
2sts となる。
t^2=1+2sinOcsO
⇒2sinocos=ピー1なので、
f(t)=(t-1)+2t-1
=1+2t-2
=(t+13-3
-1
fer
12 復
ド・モアブルの公式
(coso+isino)"= cos no+isinno
が成立することを示せ。
<proof>
(i) n=1のとき、
(coso+isinθ)=coso+isino
より(水)は成立
(ii) n=kのとき
(coso+isino) cosko+isinko
が成立すると仮定すると、
(os+isinθ)×(coso+isinθ)
=(cosotisinθ)x(coskotisinko)
= caso cosko + i sin ko caso
+isinOcoshO
=(Cosocosko-sinosinhO)
sin Osin ko
+i(sinkocosO+coskosino)
= cos (fo+O)+isin (RO+0)
=COS (R+1)+isin (+1)
-
-3
√2
・七
Maxf(t)=f(2) =252 (0=1/4)
min f(t) = f(-1)=-3 (02/27)
となりn=1のときも(水)は成立。
以上 (1) (II)より題意はみたされた。
<q.e.d.>

ページ4:

|3|
a1=5.an+nan
an [を求めよ。
ant=n-an・・・① より
an+2 = (n+1)-an+1
(ii) n=2m-1のとき
azmt-a2m-1=4m-1
m≧2のとき
②
m-1
a2m-l
=1+Σ(4-1)
⇒ any = (n+1)-antz より
k=1
=2m23m+6
(n+1)² - An+2 = n²-An
これはm=1のときも成立。
以上より
antz = an+ (2n+1) ・(水)
2m²-m-5 (n=2m)
(1) n=2mのとき、(*)は、
an=
2m²-3m+6(n=2m-1)
a2m+2=azm+4m+1
a2cm11) = a2m+4m+1
#
point.
また、a2=1-a1=-4
m=2のとき、
=a2+4+1
nの値が1つおきの漸化式
Ex. antz と an
The
+4×2+1
n=2m.2m-1
偶数 奇数
+) azm = azm-2
+4(2m-2)+1
で場合分け!!
azm=Q2+4x1/2(ml)+(m-1)
=2m²m-5
これはm=1のときも成立。
※階差数列となる場合が多い。

ページ5:

4
a12.
Ant = 4n+ ... (x)
これは、
20n
anを求めよ。
log201
よって、
log2 On=
=
1 もみたす.
n2+2N-2
an=2
n²+2n-2
An+1 =
20m×4m+1
=2anx22n+2
= Onx22n+3 On+2
つゆの)
じゃない
から計算できない。
階差数列の公式
antton>a1=2>0
Anti
=
an+
(nの式)
より両辺の対数をとると、
log2 An+1=
log₂ (anx 22n+3)
log, Onn - logs On + log, 22m
log222m
=
bant = ban+(nの式)の形 階差!!
log 2 ann
(n=1のとき)
=
logan + (2n+3)
log2a1= log22=1
log201+2+3
(n=2のとき)。
log 2 03
logxQ24
+2+2+3
ミ
サlogzan
-
logy and
+2x(n+1) +3
(2x) n-1
an = art (nの式のver)
12-1
n=1のときがanをみたすか必ずcheck!
みんなよく忘れるので導き方で覚えよう。
Q3=Q2+f(2)
02=a1
+
f(1)
n-12
+) an=ant
+
f(n-1)
ミ
log₂ an = log 2 A₁ + 2 x 1½ (n-1) n + 3(n-1)
=1+n(n-1)+3n-3
=n+2m-2
am = a + f(R)
☆point☆
Pe=1
Jan. Anant an
の形には対数有効!!

ページ6:

a1=1. An-1+01+ 202+ 303++ nan
an
=
(1) On を求めよ
(2) n≧4のとき、an>2nを示せ.
(1) a1=1
A2 =1+a1 =1+1=2 <2!
03 1+ 01+202 = 6<3!
2n
nam
2 21
n≧4のとき/1/1/12>1より
04
On > Opt>-> O4 241-3 >1
2n
24
>1
96
An > 2n
//
041+01+20+303 = 244!
05 = 4+404 1205!
An+1
16
(N≥2)
Az
= An + nan
= (n+1) An " (*)
=
=
201
302
X) an
nans
ミ
An2x3xxn
= 1 × 2×3xxn
=n!
An = n!
#
(n=1のときもみたす)
>1を示せればよいので、
(2) an
2n
(水)より、
anti
n+1
an
=
211
2
2n

ページ7:

3
4
一辺の長さが1の正三角形ABCを
底面とする四面体 OABCを考える。
OA=OB=OC=aでありa≧1とする。
四面体OABCが球Sに内接して
いるとき、球の半径raで表せ
0
また、△ABC=
=1/2x1x1×560°=
VoABC = 1/3xAABCOD
=
J302-1
12
13
ここでΔOAB=△OBC=△OCAで、
A
D
B
E
B
AD=1/2/3
Coso =
202-1
202
a
a
C
√4041
Sin
202
A
JB
1
△OAB=1/12/02
VOAB=
302-1
⇒r=
より
√4041
√4931
1
4
202
r (AOAB+AOBC+△OCA+△ABC)より
1 (3+340+1
r
4
J30-1
J+3540-1
a
A
3
OD²
OD =
=
a²-
391-3
より
Si
IS
RS4
V = 1/32R(Si+S2+S3+54)

ページ8:

△ABCの内部に点Pがあり、等式
2+3+40=0をみたしている。
△PBC:APCA: APABを求めよ.
2
B
P2
△ABCの内部の点P、
正の数α.B.8に対して
α AP+B BP + CP
APBC APCA APAB
=
: B :
B
2AP +3BP +4CP = 0
2AP+3 (AP-AB)+4(AP-AC) =
9AP = 3AB+4AC
AP
=
73AB+4AC
9 4+3
メネラウスの定理より、
3. PDX5=1
DA 2
X =1
BD
3
4*CP3
'
BD DA 23
2x.
APBC = × ABC × ×
APCA
AABC ×
5
CP : PD = 5:4
=
5
=
△PAB=∠ABC×4×7
2
9
AABC
34 ABC
4 ▲ ABC
9
APBC APCA APAB = 23:4
#1
A
Ex、正三角形
1AP + 1BP +1CP = 0
1:1:1
のとき、

ページ9:

x.y.a.bERが
A(21) B(S、S)、C(t.0)
x+y2-1 および a+b'=2をみたすとき、
ax+by の Max とminを求めよ。
AB+BC+CAを最小とするs.t
の値を求めよ。
y
A(12)
y=x
{7y = sino
x=COSO
点Aを
とおくと、
y=xxxx軸
A(2.1)
0
に関して対称
CVH →x
ax+ey
移動
凸
FA"(2-1)
=acosy+bsino
a cose +
=
Jate (.
Jare
ここでa+b=2より
ax+by
=12(cosO+
=12 sin(+α)
A'とA"をつなぐその線上に
BとCのとき min
AB+BC+CA = A'B+BC+CA*≧A'A"
e
* Jaže: Sino)
より、4点 A',B,C, A' が同一直線
a
sind=
cesα =
J2
sino
sind = 1. cosα = 1/
但し
Max √2
min-12
#
上にあるとき
AB+BC+CAは最小となる。
AA: y=-3x+5
... 1
OB: y=x
・ ②
①.②より
B (44)
①においてy=0とするとx=1/2
C(1/30)