ページ1:

§ 10 平面ベクトル」
10.1 Get Ready
§ 10 平面ベクトルⅠ
1.
一問題 108 (平面ベクトルの一次独立I)
8.
G である2つのベクトル
があって,これらが,
独立
s(a+3b)+(-2a + b) = -5a-b
を満たすとき, stの値を求めよ。
平面ベクトルの一次独立
[解咯]
s(36) +t(-2a+b)=-5a-b
(s-2t)+(3s+t) = -58-6
aは一次独立なので
s-et=-5
| 3s+t = -1
*s=-1,t=2
と言が一次独立であるとき
axb
平面ベクトルの一次独立の性質・
と言が一次独立であるとき
x+x+y
ならば x=xy=y」
(係数が比較できる!
125

ページ2:

§ 10 平面ベクトル I
-問題 110 (内分点 外分点 重心の位置ベクトル)
次の各々の声を
表せ。
(1)点P は線分ABを 8:3に内分
A
(2) Pは線分ABを1-t: tに内分
0
IP
P
B
(3) 点Pは線分ABを 53 に外分
(5) 点P は △OAB の重心
A
A
B
0
内分・外分点の位置ベクトル・
P()
B
0
B
(4)点P は線分AB を 1-t:tに外分(t<)
m
P
(m
PP
分ABm:に内分する線分ABm:n(mn)に外分する
20
(m<n)に外分する
分ABをm:mn
m: -n
-M N
内分
点P(ア)は
点P()は
小さい方にを付ける!
点P(ア)は
小さい方
を付ける
namb
Emb
namb
P
=
m+n
En
m+n
127

ページ3:

2017 高校2年 文系数学 B
-問題 109 (ベクトルの基本)
右図のような正六角形ABCDEF において,AB=AF = とおく
このとき、次の各ベクトルを
(1) CD
(4) AD
表せ。
(2) BC
(3) AC
(5) BD
[解咯]
(1)
B
'0
(4)
B・
610
B
CD = AF
B
60
5)
D
A-2A0 = 2d+26
B
10
(3)
D
BC= AO BC= a+b
B
D
AC = AB + BC = a+ (a+b)
20+6
D
0
D
B=AD-AB=(2+2)-d
=a+26
ベクトルの分解
A
OA
JE
基準点を始点に!
B AB-OBOA
OB
(基準点
126

ページ4:

2017
高校2年
文系数学 B
0
(3)
点Pは分AB 8:3に内分する
=
8+3
B
1-1
点Pは分ABを1-ttに内分する
ta + (1-t)b
(1-t)+t
ta+ (1-t)b
PはAOABの重心なので
---
重心の位置ベクトル
3点A(a),B(), c() がある.
△ABCの重心G (g)の位置ベクトル
a+b+
3
△OAB の重心 (g)の位置ベクトル
3
A(d)
⑤
③
点Pは分ABを5:3に外分する
5-3に内分
-3a+56
°
5-3
点Pは線分ABを1-ttに外分する
1t-tに内分
-ta+(1-t)b
P=
1-t-t
128
BCB)
M(BC) C()

ページ5:

10.2
Training
§ 10 平面ベクトルI
一問題 111 (3点が一直線上にある条件)
三角形 OAB について,辺OAを7:5に内分する点をP, 辺 AB を 52 に外分する点を Q とする。 さ
らに、 三角形 OAB の重心をGとする。
(1) OP, O. OG をそれぞれ OA, OB を用いて表せ。
(2) PQ PGをOA, OB を用いてそれぞれ表せ。
(3)3点P, G. Q は同一直線上にあることを示し, 線分の長さの比PG:GQ を求めよ。
(1)[解答]
PはOA 7:5に内分するので
OPOA
=
QはAB52に外分するので
QQ=
-20A +50B
5-2
Gは △OAB の重心なので
=
(2)[樹]
(3)3点 P.G.Qが一直線上
⇒PG=kGQとなる実数kを探す
[解答]
PG = OG - OP
-(+)-A
= -+
12PG 30A 40B - ①D
GQ = 0Q - OG
-(-)-(+)
=-OA+B
3 GQ = -30A +40B ... ②
①②より
GO - 4PG
よって、3点P.GQは一直線上にあり
PG: GQ = [1 : 4
129

ページ6:

2017
高校2年 文系数学 B
一問題 112 (IPA + mPB+nPC=0
△ABC と点Pがあって, 3PA +4PB+5PC が成り立っている。このとき、次の問いに答えよ。
(1) AP AB, ACで表せ。
(2)BCを5:4 に内分する点をDとするとき, Pは線分AD 上にあることを示し, APPD を求めよ。
(3) 面積比 △PAB: △PBC: △PCA を求めよ。
(1) [解答]
3PA +4PB +5PC =
-3AP + 4 (ABAP) + 5 (AČ - Æг) - O
12AP = 4AB+5AC
A
(2) [解答]
+
-1
DBC 5:4に内分するので
AD-4AB+5AC 4AB+ 5AČ
9
5+4
①より、
AP-4AB+5AC
12
9.4階+5A
[ポイント]
12 9
よって、Pは分AD上にあり
AP: AD-34
(3) [解答]
A
分母を4+59に直す!
これは
4AB+5AC
5+4
と考えるとBC54に内分
するベクトルを表す。
よって
B
④
APAB =
D
AABC - AABC
APBC - #AABC
APCA AABC ABC
△PAB:APBC:APCA - 18:11:138=5=3:4
12
130

ページ7:

§ 10 平面ベクトルⅠ
-問題 113 (2直線の交点の位置ベクトル)
三角形 OAB において 辺OA を 3:2に内分する点をP, 辺OBを2:1に内分する点を Qとし,2直
|線 BP, AQの交点をPとする。
(1) OR OA, OB ***.
(2) 直線 OR と線分ABの交点をSとする。 AS: SB および OR OS を求めよ。
(1)[方針]
直線BP、直線AQの交点がR
「直線BP上にR
⇒ 直線AQ上にRoto+(i-t)
0
=sOP+(1-s)
とかける
③
とかける
P
-S
RI-t.
②
m
⇒を明,o,s.tを使って2通りで表す!
⇒ ベクトルの一次独立で係数を比較する!
[解答]
Rは直線BP上の点であるから
-
OR SOP (1-S) OB (s:実数)
=
s+(-s)б
S·
s+ (-s)
Rは直線AQ上の点であるから
OR = to +(-t) (t:実数)
①②より
= tā² + (1-t).
=
tā+ (1-1)-
isa+(1-8)=ta+(1)
abは一次独立なので
1-s-(-s)
|(2) [解答]
A
L-A
Sは直線OR上の点であるから
OS=kOR (k: 実数)
·k (a + b)
・Sa+
Sは直線AB上の点であるから
OS = loA + (1-ℓ) d (L:実数)
= la+(1-) BO
⑤⑥より
kā + k = la + (1-1)
dbは一次独立なので
[k = l --⑦
⑦+⑧より、
+歌・1
⑦より、l=
1-8-(1-1)-
③④に代入して
s= 5
したがって
①に代入して
(t-)
R =
(1-5)
OA+
AS: SB = 1-ℓl=4:3
OR:OS = 1:k=7:9
131

ページ8:

(2) [別解1]
0
[別解2] <チェバ・メネラウスの利用 >
チェバの定理
2
| 3直線AQ.BRCP
P」
A
P
\R
OR = A + B).
S
が1点で交わるとき
PB @CRA
AP BQ CR
メネラウスの定理
3点P.Q.Rが直線
C
OR =
30+40g
上にあるとき、
PB QC RA
=
=7.307408
A
B
+4
・は線分ABを 4:3に内分する位置
メネラウスの定理により
0
ベクトルで、この点がSであるから
AS SR 4:3
また,
蛸··噐 - 1
号・・・1
R
OR
=
であるから,
よって.
A
S
B
OR:OS = 7:9
したがって
OR-
PR:RB=4:5
50P+408
4+5
= +
- ½ + ½
=
+

ページ9:

2017 高校2年 文系数学 B
-問題 114 (直線のベクトル方程式I)-
平面上の三角形 OAB に対し, 点Pを
OP = sOA +tOB (s,tは実数)
によって定める。 s,tが条件 2s+t=1を満たしながら変化するとき, P はどのような図形上を動くか。
【実験例】
0
S=
B S=0から t=1
P-
点()に似てる!?
B
\S-1-
かった
\S=koto
M
A
かった
※点は、直線BM上を動くと考えられる。
※点Pは、座標 (s,t) のように扱うことができそう!?
【解答】
OP= soA + toB (29++=1)であるから
+(2-1)
OP=23.
=
SOM + toB
(s-28,ai=20より S+t= 1)
よって、点Pは
「2点M(),B()を通る直線上」
動く。
132

ページ10:

10.3
Challenge
一問題 115 (平面ベクトルの一次独立II)
同一直線上にない 3点 O. A, B がある。 このとき
§ 10 平面ベクトルⅠ
GOA +bOB=cOA + dOB が成立するのは「a=cかつb=d」 に限る
ことを背理法を用いて証明せよ。
【解答】
「a C または b d」のとき矛盾が生じることを示せば良い.
+
QoA + boB = COA doB (a-c) OA = (d-b)OB
(i) acのとき
=
となるが、3点o、A,Bが同一直線上にないことに
(ii) bd のとき
OB =
--
となるが、3点o,A,Bが同一直上にないことに
(i) Gi)より、 背理法により示された
背理法
ある命題に対して、その命題が成り立たないと仮定し、
矛盾が生じることを示すことにより、その命題が正しいこと
を証明する方法を背理法という。
※否定するときの注意
かつ
否定
すべての
ある
133

ページ11:

2017
高校2年 文系数学 B
問題 116 (直線のベクトル方程式 II)-
同一直線上にない3点 O, A, B がある。 点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は
OP = GOA + BOB (a +3=1.0.βは実数)
| と書けることである。 これを証明せよ。
【解答】
点Pが直線AB上にあることから
とかけ.
AtAB (t:実数)
ふ
OP OA- t (OB-OA)
=
a = (it)+tog
α-l-t.β=t とおくと
P = α A+ BOB (α+B=1)
272
134
0
AB B
A
TAB
P