ページ1:

Date
数学
B2 関数 y=cos2x+cosx+3 がある。 ただし, 0≦x≦πとする。
(1)x=2のとき,yの値を求めよ。 また, y を cosx の式で表せ。
T
- Y = cos 2. TEL + cos I +3
TV
== COS TV + CST +3
=
-1+0
+3
= 2
12倍角の公式
1. sin 2d=2 sind cost
2. cos2d = cos²+ - sin²d
= 1-2 sin² +
= 2005² 2-1
3. tan 2α = 2 land
1-tan²+
余弦の2倍角の公式により
Y = cos 2x + cost +3
2
(2003- CS2 tr
200s 24 cos x2
R100R.

ページ2:

(2)yの最小値を求めよ。 また, yが最小となるときのxの値に対して sin2xの値を求めよ。
置き換え
COSx=tとおくと
Y=205X+10512
=2+12
←2次関数に直して考える
+2(614)+1
15
←平方完成
005日の範囲
ここで0 ミスミルにより―1:05x=1であるから
この範囲における12ぴなのグラフは下の図の実線部分のようになる
5.
↑y
10
よしものとき最小値
Yが最小値をとる人に対し cost=t=-1
このとき
sin²x=1-cost
15
ト
(一部
-=
16
sinθの範囲
Oミスミπより Sina≧0であるから
sint=
よって、正弦の2倍角の公式により
sin2x=2sinx cost
-2.
← last!

ページ3:

Data
B3 片面を白色に, もう片面を黒色に塗った板が2枚あり、
机
最初この2枚の板を上面が左から 「白白」の状態で机の上
に左右に並べて置いてある。 次の 【操作】 を3回繰り返し
てこの板を裏返していく。
(左) (右)
【操作】 赤玉2個 青玉2個の合計4個の玉が入った袋から同時に2個の玉を取り出す。
取り出した玉が
20
・赤玉2個の場合は左側の板だけを裏返す。
青玉2個の場合は右側の板だけを裏返す。
・赤玉と青玉の場合は2枚とも裏返す。
ただし、取り出した玉は1回ごとに袋に戻すものとする。
(3)3回の操作後, 2枚の板の上面が左から 「白黒」 の状態である確率を求めよ。 また, 3
回の操作後、2枚の板の上面が左から 「白黒」 の状態であったとき、 左側の板が1回も裏
(配点 40)
返らなかった条件付き確率を求めよ。
1回の操作で赤玉と青玉を1個ずつ取り出すという事象をCとし、
事象の起こる確率をとすると
2G1·201
r=
2に同色2個のうち1つを並びとる
4C2
← 4C2=計4つのうち2つを並びとる
2.2
2:2
2
を求める別解→余事象の確率
1回の操作で同じ色を2個取り出す事象は
262 1
4C2
6
赤玉・青玉の2色→2通り
よって
262
L=
-2=
4C2
したがって
1-(2)-1-3-1
22

ページ4:

No.
Date
3回の操作後、2枚の板の上面が左から「白黒」となる事象をDとすると、
Dには3つの場合がある。
[1]3回とも右側の板だけが裏返る
すなわち、3回とも事象が起こる
1回の操作で青玉を2つ取り出すという事象
←
(1)(+)
[2]1回は右側の板だけが裏通り、2回は左側の板だけが裏返る
→(1)(1)
すなわち、3回のうち事が2回、事もが1回走る
1回の操作で赤玉を2つ取り出すという事象
3通りのうち左がでるのが2回
[3]1回は右側の板だけが裏返り、2回は2枚の板だけが裏返る。
→(1)(
すなわち、3回のうち事Bが1回、平家Cが2回走る
[1]~[3]は互いに排反なので、求める確率P(D)は
13
[1]+[2]+[3]-5
3回の操作で、左側の板が1回も裏返らない事をEとすると
P(DE)
(/)
よって求める条件付き確率(E)は
Po(E)
P(DE)
P(D)
DNEは[1]の場合であるから
・条件付き確率
轜Aが起こったときの平Bが起こる
条件付き確率PA(B)は
PA(B)=2P(A)
PA (B) = P(AMB)

ページ5:

(2)円Cが領域 D に含まれるとき,αのとり得る値の範囲を求めよ。
領域D:4YES
すだちら -リミン
(274:8
{
12-7-4
・直線と境界とする領域
直線ly=mik
1.不等式12mのます範囲→lの上側
No
x+4=8
円の中心の
軌跡
2.不等式ysme+kの表す範囲 lo
ⅰ)用しが領域Dの境界線ス=8と接するとき
スイソニー4/
→領域Dは斜線部分
円の中心(a,a-2)とスナソ-8:0(スty=8)の距離が
円の半径に等しい
a+(a-2)-81
√12+12
12a-101=2
境界線を含む
→
←円と直線が接するとき、円の半径=円の中心と直線との距離
F= d
点と直線の距離
点(スッソ)と
a-5 ±1
d=
直線ax+by+c=0の距離dは
lax, + by₁ +c!
103+68
9=46
同じが領域日内にあるとき、a=4
→a=6のとき円の中心は(6,4)になり領域日の範囲に入らないので不適
1)円とが領域Dの境界線ス+y+4=0(スイソニー4)と接するとき、(i)と同様に考えると
a+(a-2)+41
P+P
12042132
a+1 = ±1
a=-2,0
用しが領域D内にあるとき、00
円の中心は常に直線ソニー2上にあるから(i)(ii)よりaの得り値の範囲は0sas4

ページ6:

B4 座標平面上に円 C:x+y2-2ax-2(a-2)y+2a-4a+2=0 がある。 ただし, αは実
数とする。 また, 不等式 -4≦xty≦8 の表す領域をDとする。
(1)円Cの中心の座標と半径を求めよ。 また, σがすべての実数値をとって変化するとき,
円Cの中心の軌跡の方程式を求めよ。
円の方程式
点(a,b)を中心とする半径と円
(x-a)² + (y-6)² = r² (120)
x+yo-2ax-21a-2)y+2a²-4a+z=0
x2-2ax+y2-2(a-2)y +20-4a+2=
(x-a-a² + {1-(a-2)² - (a-272 == -2a² +4α-2
(スー)+{ソ-10-233=-20²+4a-2+a2+(-2)
よって、円の中心座標(a,a-2)
半径 た
= -2a²+4α-2+ a² + a² - 4a+4
2
円の中心座標(x,y)とおくと
x= a
y=a-z
であるから、のを消去すると
Y = x-
2
←大とりだけの関係式を求める
このを代入
また、aがすべての実数値をとって変化するとき、スモすべての実数値をとる。
以上より、円の中心の軌跡の方程式はY=X-2

ページ7:

ⅰ)円①と(=4のとき
MC: (x-4)² + (Y-2)² = 2
が内接するとき→点は
最大
2つの①、②の中心間の距離は
(0,-4) (4,2)
√(4-0)²+ [2-(-4)} = √B
2
であるから、円①に円②が内接するとき
④
2店=辰一反
=2
(原)=(251)
=54+4/26
AC: 1² + (y + z )² = 2...
ii)円①とa=0のとき
③
が外接するとき→夫は最小
2つの円①③の中心間の距離は
(0,-4) (0,-2)
(0-0)+{-2-(-4)²= (-2+4)2
= 2
であるから、2つの円①③が外接するとき
2=+
= 6-4√2
(辰)=(2-F)
k =
以上より 最大値54+4/26
最小値 6-41
2点間の距離
←
(21,ソ),B(スコッシュ)とすると、
(フュース)+(12-11)
・2つの円の位置関係
2つの円の半径ト,ト(トコト)
中心間の距離dについて
1.一方が他方の外部
dafer
2.外(1点を共有)
3.2点で交わる。
.
t-rederer
4.内(1点を共有
der-r
5.一方が他方の内部にある
-det-t
G

ページ8:

(配点 40)
(3)(2)の範囲で変化するとき、円Cが通過する領域をEとする。 点(x, y) が領域E内
を動くとき,x+(y+4)の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。
aが(2)の範囲(0≦a≦4)で変化するとき、
円しが通過する領域をは下図のようになり
境界線を含む
-4k
x²+(y+4)2=k
←(与えられた式)の形にして
とし、K(0,-4)とする。
この方程式の表す図形が領域内の点を通るときの
たの値を求める。
点(0,-4)は領域内の点ではないから、点(大、ソ)が領域E内の点のとき、
20
←友は円の方程式のの同じもの…ピンR20
このとき、①は点10,-4)を中心とする半径度の円を表す。
よって円①と領域たが共有点をもつような半径2乗の最大値と最小値を求める
①K(0,-4)