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進研 '14 2年 7月 1番
次の
を正しくうめよ。
(1) 262+6-1を因数分解すると ア
であり、2+3ab + 262+6-1 を因数分解す
るとイ である。
(2) 方程式 x1=2の解は、x= ウ
である。 また、 x を実数とするとき、
|x-1=2はx=3であるための エ
H に当てはまるものを、下の①~④のうちから1つ選べ。
① 必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件でない
③十分条件であるが、必要条件でない
④必要条件でも十分条件でもない
(3) 2次関数f(x)=(x+a)(x+1)があり、y=f(x) のグラフは点 (2,-3) を通る。 この
とき、定数αの値は オ であり、f(x)のxにおける最小値は カ である。
(4) 先生2人と生徒3人がいる。この5人が円卓に着席する方法は全部でキ通り
あり、このうち、 先生2人が隣り合う方法は全部でク 通りある。
(5) 次のデータは、ある月の連続した12日間における各日の最低気温 (°C) を並べたも
のである。
7, 5, 9, 7, 5, 6, 8, 7, 6, 4, 1, 3
このデータの範囲はケ
(C) であり、 四分位範囲は
(°C) である。
(1)
2
-1
ゴール
(2b-1)(b+1)
2
2
FL
a²
= a²
a
=20

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2 進研'142年 7月 2番
袋の中に赤玉が3個、 白玉が3個、 青玉が3個の合計9個の玉があり、赤玉と白玉にはそ
れぞれ1から3までの数字が1つずつ、青玉には4がら6までの数字が1つずつ書かれて
いる。 この袋から同時に4個の玉を取り出す。
(1) 赤玉2個と白玉2個を取り出す確率を求めよ。
(2) 取り出した4個の玉の中に、青玉が3個含まれる確率を求めよ。 また、取り出した
4個の玉の中に、 青玉が2個だけ含まれる確率を求めよ。
(3) 取り出した4個の玉に書かれている数字がすべて異なる確率を求めよ。

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3 進研'142年 7月 3番
△ABCにおいて、 AB=5, BC=3√5tanA=-
(1) COSA の値を求めよ。
(2) 辺 AC の長さを求めよ。
である。
4
√5
(3) ∠BCD=90°かつCD=
である点Dを、 直線BCに関して点Aと同じ側に
2
とり、直線ACと直線BDの交点をEとする。 線分DE の長さを求めよ。

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4 進研'14 2年 7月 4番
の3次式P(x)=x3 - 4x2 +ax + b があり、 P(2)=0である。ただし、 a,bは実数の定
数である。
(1)b をαを用いて表せ。
(2) P(x) を因数分解せよ。 また、 方程式(x)=0 2つの虚数解をもつようなαの値
の範囲を求めよ。
(3) 方程式(x) = 0 が2つの虚数解をもち、この2つの虚数解が方程式
x3+px2+px+21=0 pは実数の定数) の解であるとき、a, p の値を求めよ。

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進研'14 2年 7月 5番
0を原点とする座標平面上に、 点A(1,3) とK:x+y+4x+2y=0がある。また、
K」 と半径が等しく、点0を中心とする円をK2 とする。
(1)円 K2の方程式を求めよ。
(2)点Aから円 K2 に引いた2本の接線と円 K2 の接点をそれぞれ B,C とする。 接点
BC の座標を求めよ。 ただし、点Bのy座標は点Cのy座標より大きいものとする。
(3) (2) のとき、 直線 BC の方程式を求めよ。 また、 円 K, と中心が同じ円で、直線 BC
から切り取る線分の長さが2√2になる円をK」 とする。 点Pが円 K の周上を動くと
き、線分AP の長さの最大値を求めよ。

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6 進研'14 2年 7月 6番
y=acos20 +4√3 sincoso +31 (αは定数)がある。また, 0 =1のときy=3であ
る。
(1) αの値を求めよ。
(2) ①をy=Asin 20 + Bcos20 +C(A,B,Cは定数)の形に表せ。
(3) TSO2における関数①の最大値と最小値 およびそのときの9の値をそれぞれ
求めよ。

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7 進研 '14 2年 7月 8番
OA=4である△OAB があり、 OA, OBは内積の関係式OA (OA+OB)=20 を満た
している。
(1) 内積 OA・OB の値を求めよ。
(2) OP = kOA (kは実数)である点PがOALBP を満たすとき、kの値を求めよ。
(3) (2) のとき、辺ABを2:1に内分する点をC、 直線 OC と直線 BPの交点をDと
する。このとき、OD を OA, OB を用いて表せ。 さらに、OD=2のとき、10Bを
求めよ。

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8 進研'15 2年 7月 8番
△OAB があり,辺OBを2:1の比に内分する点を C, 線分ACの中点をD
とする。また,OA=a,OB = とする。
(1) OC を用いて表せ。 また, ODを4, を用いて表せ。
(2) OA) である点をEとする。 ECをk, a, b を用いて表せ。
また,OA=2, 内積=6のとき,EC = OC であるようなkの値を
求めよ。
(3)(2)のとき、直線ED と直線ABの交点をPとする。 OP を a,b を用いて表せ。