ページ3:

②べき乗関数
kasb ☆ xa«xb
べき乗関数は指数が大きい(次数が高い)方が発散速度が速い
③ 指数関数
kabakbx
指数関数は底が大きい方が発散速度が速い
log Fall 2d 10t
x
速い
log. Na.hpp>
JA, h²pp 2" 10"
A
n n^
ex) lit
17+03 logx
⇒発散速度を用いるときは置換しても→∞の議論に持ち込む
次もとするとシロでも→400
li
(与式)=300
□自然対数(In)
li
t
12+00 Togt
= log (# ) = { ++00
自然対数(log natural)はlogxやInxと表され、それらの底は
ネイピア数で表される。
ネイピア数の定義
e=
li
(1 + 1 ) = ln (1 + x) *
(1+x)
1000
470
このeは指数関数ののなかで微分してもこの周りでの傾きが」となるもの
として定義できる

ページ4:

・不定形の処理②
→約分有理化 5 極限公式 微分の定義式
0x00⇒置換してか号の形に60に極限公式
国(10) ネイピア数(e)の定義 logをとる
最速パート…最も発散速度の速い部分を指す
(1+00)はlogをとることで0x00に帰着させる。
図の例は実質的に四回に含まれる
①器の例
exi) lu(ペーパ)を求めよう
h+00
OKIのとき hr=0より(5式)=-1
Y=1のとき3r=1より(与式)=011/
sim/1/12=01与式)=lum
Kraze no In
図0-00の例
4-700
ext) lino(nian-n2)を求めようも最速パートで括る
√n² + n - n² = - n² / 1 - Jhars
--n² (1-/h + 1/153) ∞ (n=∞0
exlin(in)を求めよう 有理化
n700
-
ñ =
→/(100)
√1+h+1
5175-1
→∞の極限はた一人として七300とした方が分かりやすい
ex) lu(ナース)を求めよう。 有理化

ページ5:

極限計算
四代人のような計算……絶対値と符号を分けて計算する
↓不定形の確認
②不定形のタイプに合わせて処理
○極限公式
①li singe
x20
x
[2] lu. 1-cose!
270
(③1-cose sine
×(1+Cox)
国butane
x20
人
=1 (@tang
sinx
xcosx
4 lu e²-1
X70
x
157 lu
lw
10g(1+x)
不定形の解消の際に、その代わりとなるカタマリを作り公式を適用できる
形にする
→不定形の処理
00
8
8-80,100,0x00,(110)の処理
不定形の処理①
器→分母の最速パートで割る
(求値だけなら分母分子の最速パートだけ見ればよい
図0-0 発散速度で場合分けする
発散速度が違う…最速パートでくる
発散速度が同じ…有理化

ページ6:

▷左右極限
y=f(x)についてもこの左右極限を以下のように表す
左側極限 li f(x)
270-0
右側極限 list f(x)
→ato
これら左右の極限値が一致するときつまり
f(x) = li
二
x7α-0
×30+0
のとき f(x)が存在すると言える。
D
関数の連続性
関数が連続か調べるとき左右極限を利用して判定する。
y=f(x)が(t,f(t))において連続
<= lin faxy=ln f(x)=li f(x)=lif(t)
道→to
x→tto
xot
lu fox = lin Ali f(x) =fct)
x→tto
xt
<f(x)が存在し、f(x)=f(t)
t
とうも
st

ページ7:

X→0を考えるため―全くとく」で考えると(cosx)>0であるので
自然対数をとると
log(cosx)
1-cost log|1+(cosx-1)
x²
→-2(=10g高)(スプ)
Cost-1
ここでも0で10gtu連続であるのでM(205X)ロー
JC-
Je
注意
とlogの可換につて「連続である」ということを記述する。
▷ロビタルの定理
注意
証明については大学範囲のため答案での記述として使用すべき
でない
li
f(x)
Da 200)
0
が一の不定形で
0
f(x)、g(x)がC級
ljf(x)
2012)
を満足するとき、
が有限確定値に収束
li f(x) f(x)
eu
m回連続微分可能
=
→ag(x)
ag(x)
となる。これはf(x)」がcm級関数であれば、
chu
((土)
li fu li 2m (x)
→g(3)
Isa
となる

ページ8:

ex4) li tanπメー】
→
→4
4x-1
[解法]]
微分の定義式の利用
を求めよう
(137) = lin 4-
tana-tance
T 7C
=
2
RIN
= 4 (tan xx) | x = = = 4 cosa
[解法2] ←極限公式の利用
七xとおけば→年で+30
tanxx-l=tonint+
+tonat
+1
=
-T
=
T-tanxt
(与式)=lin
tanat
to
==
at
211-tani)
T
2
2tainst
1- tanzt
極限公式は器形の不定形で最速パートをくくり出すときにも有用
Ing1-cos5x) を求めよう
ex) s
logl
2770
(与式)
=
logx
lin
Xto
log
1-00551
15 +210g5y
in s log.
togx
1-coss+210g5
(500)25
x7+0
logi
15
121=2
={}
ex1) 2000(22)を求めよう。
t
2x+1
(与式)=212x+1
(5 st) = Six ( 1 + 1 ) = the {( 1 + s )" }
exz) lu
5700
2人
1700.
20
T
x00 (cosx)を求めよう。 (10)の不定形で式が煩雑なので
logをとろ

ページ9:

(Shot) = in (NET -√TFT) (t=-x)
+300
lu
=
-t-1
→ピーヒ+Nモノ
= lin -1- #
++00
国号の例
exi) iu
21-1
を求めよう 有理化
√√√n² + 1 + √√n² -
(5-2) = lis n (2 * -1)^
(与式)=li
enter
20
tir en to) 1022 ( +NT-12)
h+0
½ log 2
2
=10g2
を求めよい→極限公式
ex2) Dj sin(l-cos3x)
390
x2
株式)
=
li
X70
sin(1-co333) 1-cos32
+-cos3x
ex3)lin asinx-xsina
x-d
x-a
12
=
(3x2
2
を求めよう→微分の定義式
(与式)=yuuasinx-sina
x-a
=acosa-2asina
-
x-a
-Sina.
x-a

ページ10:

・無限等比級数の収束条件
an=arni に対してその収束条件は、
-KKT
⑥②Da=0
無限等比数列と異なり1=1では発散する。
収束するなら(必ず 1公比<1初項=0を確認)
li Zaynt 初項
N7001=1
a
=
ユー会地 1-r

ページ11:

▷無限等比数列
an=ノートという等比数列に対して→∞で
①rx1
an→+00
④トート……arは土で振動発散
②1 = 1
an→1
⑤-anは土∞で振動発散
・等限等比数列の収束条件
an=dに対して収束条件は krs
a=0
・右側不等式に等号がつく
・a=0(初頭)を忘れないように
無限等比級数
anzarmlという等比数列に対して無限等比級数は
8
N
N
Σan = lu Σan = luar^-+
ht
N=00πT=T
N→00
で表される。計算するときは基本的には部分和を求めてから計算の流れ。
つまり
N
N
Zian=SNとすると loan = lin Sw
h=l
ただし計算するなら
N
Zarnt
011-117
= {=
T-r
Na
n=1
√√√+00 n=1
N+00
SN
(K41)に注意すること
(r=1)

ページ12:

○極限方程式
極限方程式は収束するための条件として不定形となることか
必要条件である
例として
ling(x)
= C
20(火)
について
linf(x)=01分母→0)のとき
ling(x)=0(分子→0)が必要!!
x70
この後...
与えられた極限方程式
ここの条件を利用して解き
最後に十分性の確認すれば良い
J収束条件…必要条件
等式条件…十分条件
を考えて答案を作成する
ex) là Natcose-b
3
li
(x-70) 4
となる定数abを定めよう。
→(分母)→0だから、(分子)→0,つまり=va)が必要条件
Natcosx-b Na-coso-Na-l
=
T-COSO
(メール)
02
02
4√a-l
Na-cost+Na-l
(030)
よってa=2,b=1のとき左辺は女に収束し分
▷極限で定義された関数
極限で定義された関数は先に計算処理。
間違っても、そのまま中の関数を微分積分しない!!
liの非可換を考える

ページ13:

Cx2) 無限級数
キ +
11/1の収束、発散を調べ
4'98 27
収束すればその和を求めよう。
第1項までの部分和をSとすると
S2N=1+1+
2k+
N
+ キ
いい
+
9
NY
307
34
(-3)=
Ⅱ(N→∞)
4
S2N-S2N
π
1-3N+
(N200)
4
N+B
S2N=lin
lu Sny = li SAN =
しその和は!
Not
1であるのでこの無限級数は収束
4
4
[注意]
無限級数は勝手に順番を変えてはいけない。つまり
4
(1)+(//
=
+
3
q
H
1+34
=
という解答はNGである。

ページ14:

・無限精
数列a,a2a,Om,に対して全てを次のように表記する
fax=
πax = a.az-az an
K=1
ak=0a203
無限級数と同様にして無限積を定義すると
#an=iju fan
N
N300
n=l
無限積の扱い
n=1
無限積の計算は、{an}が正の数のとき自然対数をとって
log (Ian) = log a₁ + lega₂ + ... log an
n=1
=
N
= logan と考えて無限級数の計算と同様に処理
h=1
咳代級数
する。
部分和を取る際に場合分けが生じる場合,級数の収束についてはその
全ての場合に関して同じ値に収束することを示さなければならない。
代数級数の扱い
偶奇項で場合分け
exl)無限級数
4
2
6
+
+
5
5
の収束発散を調べ収束すればその和を求めよう。
→部分和が偶によって変化するため場合分け。
第1項までの部分和をSとすると
San+
(N >∞)
SIN=1-
2N
2N
→0(N)
2N+ 2N+I
ti San≠luSaNであるので発散する
N0
No

ページ15:

○無限級数
無限級数とは、岳やliで表されるような、項の無限和のことである。
だがしかし
M=0
nook=0
00
という表記は無限級数の収束条件下でしか使用できないため
n=
答案では と表記する。
h→00 k=
①部分和を求める(計算)→極限計算
②区分求積法(リーマン積分の定義)←
n
lu = 2 f(x) = 5 f(x)dx
A
1900 k=1
母和の中身を評価してからはさみうちの原理
四面積評価からはさみうちの原理
①単調性一定…長方形近似
②凸性一定
嘸無限級数・無限和の発散
台形近似
長方形の面積の和で横幅
Zの中身→(local変数→∞)→無限和は発
対偶:「無限和が収束→Σの中→」を示す
Sn=ZokとしたときSnが収束するなら
k=1
ljusn=Sとするとan:So-nより
→0
24
In an = lu (Sn-Sn-1)-5-5-0
1500
1700
SnとSカーナの極限は誤差として扱える。
を限りなく小さくしたもの

ページ16:

▷解けない漸化式の極限
ant)=f(an)について lanを求める。重要なのは…
漸化式がとけなくても極限だけは求められるということ!
①anの極限値の予想
数列{anが収束すると仮定するとmant=Aian=xとなる
ので与漸化式に代入して得られた特性方程式を解く
特性方程式:x=fal
以下
注意
AinoAnt=aを示すぐ/anti-x1=0を示す。
極限の候補αの解が複数あるときは、y=f(x)とこのグラフを考えて
Anの動きを視察する。
②不等式の証明(作る)
「与漸化式 anti=f(an)
〔特性方程式 &=f(a)
の辺々引いて
| ann-α) = 15 (ar) - feα) | ≤rx/an-α) (112/5/<\ &\\=)
注意
不等式を作る際にはり小さ定数で押さえる必要があり、そうでない場合
①に収束するとは限らない。
③はさみうちの原理の利用
四回より
foslanalsrxlang-alarmlxlairat
{ him pod xta-at=0 1 = 1rk<1)
よりはさみうちの原理から
li lan-al20lian=x
nyo

ページ17:

bn=
○追い出しの原理
I'm
h5∞
三∞のとき
bn < an I lu br ≤ liv on
M300
よりan=となる
h+6
8
ex) Σ示は発散することを示せっ
hel
⇒部分和が具体的に計算できないので、部分和が計算できるもので
追い出す。
2<Nati+nより
2
√n NOT IND
=2(√n+1-√n)
第N項までの部分和を考えれば
tiv
N26
n=1
(miti-in)=2(N+)-1)
2(JN+1)=0であるので
無限大に発散する。
+
は正

ページ18:

はさみうちの原理
lin
an=lumn=dのとき
カー
4500
bn <cn< an => liu b ≤ b c ≤ lin an
n∞
よりDiCn=aとなる。大切なのは、ljinは、大小を
125
保存する(等号がつく)こと。
注意
・逆は不成立:libnslucasian basensan
C # <
1900
078
ヨハ
⇒
libns liu Cis luanも成立
=
1700
8E4
a
三角関数やGauss記号を含む関数での利用が多い
ex) li
を求めよう。
cosh
ho0Nnti+n
⇒COSnの挙動がよくわからないので、よくわかるものを挟む
+Σcosn≤1
両辺をdn+1+mn(20)で割ると
-1
Natl +
cosn
最左辺→最右辺 =0よりはさみうちの原理から
cosn
ns∞
[in]
ex2) live n
D
+
を求めよう!!
Gauss記号の不等式
x-1≦x(XER)を用いる。
n
最左辺→よりはさみうちの原理から [