数学Ⅲ極限計算

ううう

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いつも使ってる授業ノートをあげてみました。これを見る人は友達になってくれ！

2026.03.30 公開

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ノートテキスト

ページ1:

□極限計算
四代入のような計算……絶対値と符号を分けて計算する
↓不定形の確認
②不定形のタイプに合わせて処理
□極限公式
✓ lin
sinx
x
x30
12 liv. 1-cose |
270
x70
x² - (01-051
liutanx=110
5inc
=
tanx
22
x(1+Cost)
sint
x
xcost
4 lu e-1
x→0
=1
li
x
15 in = |
log(1+x)
9
x
不定形の解消の際に、その代わりとなるカタマリを作り、公式を適用できる。
形にする
不定形の処理
80
00,00,0x00,(1±0)の処理
不定形の処理①
田器 分母の最速パートで割る
(求値だけなら分母分子の最速パートだけ見ればよい)
②→発散速度で場合分けする
・発散速度が違う…最速パートでくくる
発散速度が同じ…有理化

ページ2:

X→を考えるためくとく型で考えると(cosx)>0であるので
自然対数をとると
10g(cosx) 定
→
1-cost log/11/cost-1)
> -1 (= 102 1/2) (270)
Cost-1
ここでも20で10gto連続であるのでl(x)=
I
JC96
Je
[注意
とlogの可換について「連続である」ということを記述する。
→ロビタルの定理
注意
証明については、大学範囲のため答案での記述として使用すべき
でない
his
(2)が口の不定形で
→ay(土)
•
0
f(x),(3)がC級
f(x)
jjfc2が有限確定値に収束
xag(x)
を満足するとき
if(2)
Di f(x)
am
回連続微分可能
=
→ag(x)
ag(x)
I
となる。これはf(x),g)がcm級関数であれば、
=
in fu li 2 (x)
→g(x)
=
gm
((土)
となる

ページ3:

+不定形の処理②
1→約分有理化 極限公式 微分の定義式
0x00 置換してかこの形に⑩Dに極限公式
国(1±0) ネイピア数(e)の定義 @lggをとる
最速パート…最も発散速度の速い部分を指す
(1+00)はlogをとることでDX00に帰着させる。
図の例は実質的に1回に含まれる
①器の例
exil(ハーパ)を求めよう
→00
OKIのときド=0より(与式)=-1
Y=1のときPsr=1より(与式)=01-1
01与式)=li
Krayz eu + =0 (4+1)= li
krのとき nor
図00-00の例
=1
H+
r
ex) (n-1)を求めよう→最速パートで括る
e
100
√n'+n- n² = - n² (1 - Jh
n
→
-∞ (n>00
exlin()を求めよう 有理化
Thin-n=
n
+++1
→/(n→∞0)
x→∞の極限はモニーとしても→∞とした方が分かりやすい
ex) lju(モヒート)を求めよう。 有理化

ページ4:

(Set) = in (NET -√++) (t=-x)
1300
lu
-t-/
t=00 √E=t. + √ E71
= li
1
t-00
国号の例
ext) in.
21
を求めよう 有理化
(51%) = lis n (2 + 1)
the enter
10g.2
h
½ log 2
2
=10g2
N
20
ex)
ex2) lin Sinll-cos3x)
(与式)
=
x2
X90
を求めよい→極限公
sin(l-cos3x) 1-cos32
+-cos3x
9
-9
=
3x²
ex3)linoisinx-xsinaを求めよう→微分の定義式
2-d
x-a
(与式)=lu (asinx-sina
xa
-x-a
=acosa-2asina
-sina-
x-a

ページ5:

ex4) au tanπメー)
→年
4x-1
[解法]]
微分の定義式の利用
を求めよう
15式)=1
tonix-tony
T 7C
= 4 (tan xx) | x = = = 4 coj³
[解法]]←極限公式の利用
→
R
2
七xとおけばx/1/
1+tonnt
2tant
tannx-l=ton
(r
t+=T-tonat
-tanat
(与式)=
li
元
tanat
T
40211-tant)
at
2
極限公式は器形の不定形で最速パートをくくり出すときにも有用
ex) s
λ770
15
lag1-cos5x) を求めよう
li
(与式)=xto
15.+210g5x
logx
logx
1-co55x
log
lu
x740
flog
2.x
1-30554
(500)2
cosse +21095
Cx1) 2008(22)を求めよう。
x30012x+1
logi
2
(与式)=120+1
三匹
2x
{1}
(
1700
ex2) Xo(cosx)を求めよう。 (10)の不定形で式が煩雑なので
logをとろ