【指数対数関数】共通テスト対策

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.21 公開

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ノートテキスト

ページ1:

〔2〕 cを正の定数として, 不等式
x
*≧ (+)
3
. loggx≧
を考える。
3を底とする ② の両辺の対数をとり, t = log3 x とおくと
ソ
タ t+ タ log3 c ≧ 0
となる。ただし, 対数 10ga b に対し, a を底といい, 6 を真数という。
C = 39 のとき,② を満たすxの値の範囲を求めよう。 ③により
t≦ チ
t≧ ツ
"
である。さらに,真数の条件を考えて
テ <x≦ ト
となる。
x≧
ナ
(3)
(数学II・数学B第1問は次ページに続く。)

ページ2:

数学Ⅱ・数学B
次に, ② x > テ の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を
求めよう。
xx >
テ の範囲を動くとき, tのとり得る値の範囲は
で
ある。
に当てはまるものを,次の①~③のうちから一つ選べ。
◎正の実数全体
① 負の実数全体
② 実数全体
③ 1以外の実数全体
この範囲のt に対して, ③がつねに成り立つための必要十分条件は,
ヌ
log3 c≧
である。すなわち,
ハヒ である。
ネ

ページ3:

〔2〕 指数・対数関数
X
.log3 x
X
● 自学
②の両辺に、底3の対数をとると
3
cは正の定数
log3 x
.log3 x
X
≧10g3
C
②
整理して
log3 x log3 x ≧3(log3 x-log3c)
t = log3 x とおくと 2-3t+310g3c≧0
= 39 のとき、log3 c = log3 3/9 = log3 93 = log3 33
このとき③は
f2-3t + 2 ≧ 0
もとに戻すと
右辺を底3の対数にすると
底3>1より
真数は正だから
2
③
2
=-
3
2 (t-1)(t-2)≧0
2 t≦1, t≧2
Z
log3 x ≦1, log3 x≧2
log3 x ≦ log3 3, log3 x ≧ log3
x≦3, x≧9
0<x≦3,x≧9
32

ページ4:

○xがx>0の範囲を動くとき、t (t=10g3 x ) のとり得る値の範囲は
実数全体である。
X
○上のに対して、③(t2 - 3t + 3log3c≧0)がつねに成り立つための
必要十分条件は、関数f(t) = t2-3t+310g3cの頂点のy座標が
0以上となればよさげ。
平方完成して頂点の y 座標を求めると
3
9
t²
f(t) = t2 - 3t + 3log3c=(t-1)^
+3log c
4
頂点(1/2,310gsc-21)
9
4
よって
310g3c
IIV
4
3
この対数不等式を解くと
10g3
log, c≥
4
3
・※
したがって
log,c≧log,3
log3 c≧
3
4
3
また、※で底3>1より
c≧3
すなわち
4
c≧4/27