【高2ベクトル】1月進研記述模試♡数学𓂃 𓈒𓏸◌‬

ベクトルとその演算ベクトルと平面図形ベクトルの応用

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.17 公開

高2 数c ベクトル進研模試過去問赤城ベクター vector ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

H.27 1月進研記述高2模試 @自学
B6 OA = 2, OB = 1, ∠AOB = 120°の△OAB がある。
点CをOCOA +2ABで定め, 点PをOP=kOA (0<k<1)
で定める。また,OA =a, OB=bとする。
(1) 内積abの値を求めよ。 また, OC を a, b を用いて表せ。
(2) 線分 AC を 1:2 に内分する点を D, 線分 OC の中点を M
→>>
とし,△PDM の重心をGとする。 OGをk, a, b を用いて表
せ。 また, 点 G が辺 OB 上にあるとき,kの値を求めよ。
(3)(2)の点 G が辺 OB 上にあるとき, 点G から直線 PD に引い
た垂線と直線 PDとの交点をHとする。 PH = PD と表される
とき,実数の値を求めよ。
(配点 40)

ページ2:

→
自学
1
(1)|a|=2,|6|=1, cos∠AOB=- -を内積の定義に代入すると
a・b = |a|| b|cos ∠AOB = 2x1×
=
2
--
=
-1圀
また、始点の統一により
2
OC = OA + 2AB = OA+2(OB-OA) = -a + 26
2
120°
1
A
B

ページ3:

(2) 前半
P
自学
M
問題文より OP = ka
M は OC の中点だから
1
-
2
2
OC = -a+2b
1
OM = LOC=(a+b)=a+b
内分点の位置ベクトルの公式より
--
2
OC=-a+2b
20A + 10C
2
OD
=
1+2
3
OA+-OC
3
2
-
1
=-a+
(-a+2b)
= a+ -b
3
3
3
APDM T.
重心の位置ベクトルの公式により
OG = 1 (
(OP + OD + OM)
5+OM)
3
1
→
後半
2
— — {( kā ) + (±² à + ²³½³ ) + ( −²±² à + b ) }
3
6k-1 5
18
a+
ここが0
9
a+ b)
3 3
-b
G が OB 上にあるとき、 OG = ab (α:実数)と表されるので、
6k-1
0
18
1
よって
k
=
(条件0<k<1を満たす)

ページ4:

P
自学
A
①
D
(3) G が OB 上にあるとき、(2)より
G
M
C
PH⊥GH
==
OP=17, OG =
5
-b
ベクトルの垂直条件により
6
9
PH・GH=0
また、始点の統一により
1
2
PD = OD – OP = (- +-b)
--
a = -a+
-b
3.
6
6
3
同様に
GH = OH - OG
①
ここで
PH=tPD=t (OD-OP)=t(-a+
よって、①は
GH = (OP+PH) -OG
→
.b
3
3
1
1
→
2
→
5
=
a+
6 6
ta +=tb
・b
3
9
つ・づ・く
詞
=
1
-ta +
6
2
tb
3

ページ5:

つづき
PDIGH だから、 ベクトルの垂直条件により
PD・GH = 0
よって
分母をはらって
.t+1
6
→>
6t-5-
·b)
9
(a+4b){(3t+3)a+ (12t-10)
(3t+3)| a |² +(24t+2)a·b + (48t−40) | b |²
→
|a|=2, |6| =1, ab=-1を代入して
= 0
= = 0
= 0
(3t+3)×22 + (24t+2)×(-1)+(48t-40)×12=0
1次方程式を解くと
36t=30
5
==
6