【高2文系数Ⅱ】積分法② 定積分の計算

積分

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.11.17 公開

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ノートテキスト

ページ1:

3 定積分
F'(x)=f(x) のとき [f(x)dx = [F(x)] = F(b)-F(a)
4 定積分の定数倍・和・差
b
a
○ [* kf (x)dx = k* ƒ (x)dx
a
定数はいんてぐらるの前に出せる
of {f(x)+g(x)}dx = ff(x)dxSg(x)dx
■和や差は分割できる
5 定積分の性質
off(x)dx=0
◆上端と下端が同じときは 0
off(x)dx=-ff(x)dx
a
a
◆上端と下端を入れかえると全体の符号が変わる
b
off(x)dx+ff(x)dx=f(x)dx
a
1つ目の上端と2つ目の下端が同じ和はドッキングできる

ページ2:

6 偶関数と奇関数の定積分
○偶関数(x偶数): ["x2"dx=250x200x
-a
JO
y軸対称
上端と下端の絶対値が同じで異符号の場合、
全体を2倍して下端を0にできる
○奇関数(x):x2n-dx = 0
原点対称
-a
上端と下端の絶対値が同じで異符号の場合、
定積分の値は 0
四一訟式
6
○f(x-a)(x-Byd=-1/2(B-a)
6
知ってて損はないけど、 知らなくてもおk

ページ3:

〖期末テストに出た問題〗 不定積分の計算
次の定積分を求めよ。
2
(1) L² (-x²+5x)dx+(x²-4x)dx
(2) ² (4x - x²)dx - f' (2x² - 4x)dx
2
(3) ₁ (4x³ +5x² -3x-6)dx
•1+√√2
(4) √(x² -2x-1)dx
√2

ページ4:

解答例
(1) 積分区間に着目 ドッキング
x² +5x)dx + f (x² - 4x)dx
L² (-x²
L²
2
-1
2
= {* {(−x² + 5x) + (x² = 4x)}&x = { xatx = [¦²x²]
-1
3
(2) 積分区間に着目 2つ目の符号を変えて上端と下端の入れ替え
² (4x − x²)dx — S² (2x² - 4x)dx
-
-(4x-x²)dx+(2x²-4x)dx
= ſ² {(4x − x²) + (2x² - 4x)}dx = ſ²x² dx
=1321=1/12 (1}
EL
= 3

ページ5:

解答例
(3) 積分区間に着目→偶関数と奇関数の性質を利用
₁ (4x³ +5x² - 3x-6)dx = 2√² (5x² - 6)dx
-3
0
5
3
=2x²-6x]*
3
5
=2/233-6-3)
= 54
・33-6.3
(4) 2次方程式の解を求めてみる→1/6 公式を利用
1+√2
√
-2x-1)dx = √(x-(1-√2)}\{x − (1 + √2)}dx
x²-2x-1=0
⇒x=1±√√2
||
6
-
+ √2) − (1 − √2)}³
1/2(2v2)
6
-
8
/2
3