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~高校3年生からの質問~ 数学 II 微分法 兵庫県大・中部大・立命館大・岡山理科大
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問題 252 xy 平面上の点 (1, 4)を通り,また, 曲線 y = f(x) = x3 +3x²+x+7と1点で接し,他の1点で交わる 直線の方程式をすべて求めよ。 260 関数 f(x) = x+ + ax3 +bx2 -12x がx=-3で極小値-9をもつ 266 とき,定数a,bの値を求めよ。 また, そのときの f(x) の極大値 を求めよ。 関数 y = sin 20(sin0 + cos0-1) について, t = sin 0+ cos0と おき,yをtの式で表すと, y=【ア】となる。0≦0≦πのとき, tのとりうる値の範囲は【イ】≦t≦【ウ】より,y のとりうる値 の範囲は,【エ】≦y≦【オ】となる。 273 a≧0である定数aに対して, とする。 f(x) = 2x3-3(a +1)x2 + 6ax + a (1) f'(x) を求めよ。 (2) x≧0において, f (x) ≧0となるようなαの値の範囲を求めよ。
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プチ解説 252 (計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´)) > y = f(x) = x + 3x2 + x + 7より f'(x)=3x2 + 6x + 1 接点を(t, t3 + 3t2 + t + 7 ) とすると, 求める直線の方程式は定点公式 により y-(t3 + 3t2 +t + 7) = (3t2 + 6t + 1)(x-t) ∴ y = (3t2 + 6t +1)x -2t3-3t2 +7 ･････① 直線①が点(1, 4)を通るから 4 = (3t² + 6t + 1)×1-2t3 - 3t2 +7 整理して f-3t-1=0 ∴ (t+1)^(t-2)=0 ∴t= -1,2 ア)t=-1のとき,① より y=-2x+6| ここで,x3+3x2 + x + 7 = -2x +6を解くと x3 +3x2 +3x + 1 = 0 ∴(x+1)=0 ∴x=-1 これは, y = f(x)と直線がただ1点で接することを示している ので不適。 イ) t=2のとき,① より ly=25x-21 ここで, x3 + 3x2 + x + 7 = 25x-21を解くと x3 +3x2 -24x + 28 = 0 ∴(x-2)^(x+7) = 0 ∴x=2(2重解),-7 これは,y=f(x)と直線が1点で接し, 他の1点で交わることを 示しているのでおk。 ア, イより, 求める直線の方程式はy=25x-21
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プチ解説 260(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´)) ■ f(x) = x4 + ax'+bx2-12x/x=-3で極小値-9をもつ xで微分すると f'(x) = 4x3 + 3ax²+ 2bx-12 ▲ x=-3で極値をもつので f'(-3)= 0 ∴4(-3)' + 3a(-3)2 +26(-3)-12=0 ∴.9a-2b=40 ..... ・① f(-3)=-9 より (-3)+ + α(-3)+b(-3)^-12(-3)=-9 ∴9a-3b=42 ①と②を連立方程式として解くと a=4, b=-2 f(x) = x +4x3-2x2-12x より f'(x) =4x3 +12x2-4x-12 f'(x)=0のとき x=-3, -1, 1 f(x) の増減表を書いてみると IC ... -3 ... f'(x) - 0 f(x) + ī ☐☐ =4(x-1)(x+1)(x + 3) | ... 0 + |極小 > 極大 \ 極小 > f(x)は x = -1で極大となり,極大値はf(-1)=1-4-2+12=7
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プチ解説 266(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´)) y = sin 26(sin 0+ cos 0-1) ....① 2倍角の公式により sin 20 = 2sin Acos e ①は y = 2 sincos 8(sin0 + cos0-1) 2 t = sin 0 + cos とおき, この両辺を2乗すると t2 =1+2sinOcos o ②は ∴2sin Acos0=t2-1 y = (t² − 1)(t − 1) = t³ − t² − t +1 π また, tの範囲を求める。 合成すると t = √2 sin(0+-) 0≦0≦πより 一方 兀 ≦sin (+1) ≦1 4 辺々に√をかけて y=f(t)=t-f -t +1 とおくと f'(t)=3t2 - 2t-1=(3t+1)(t-1)=0 より y=f(t)の増減表を書いてみますと t f(t) * f(t) 0 + 1 ○ - 。 + √2 * |3|2| 0 1√2-1 27 32 表より, 0≦x≦ 27
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プチ解説 273(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´)) f(x) = 2x3-3(a+1)x2+6ax+a, a≧0 (1) f'(x) = 6x2 - 6(a+1)x + 6a (2) f'(x)=6(x-a)(x-1)=0 より x = a, 1 a <1, a = 1, 1 <α で場合分け。 ~最小値が0以上となるような値の範囲をさがします~ ア) a<1, すなわち 0≦a<1 のとき, x=1で最小となるので f (1) ≧0となればよい。 ここで,f(1) = 4a-1 より 4a-1≧0 これと 0≦a <1 より ≦a<1 ・① 4 イ)a= ・・・・・② のとき, a 1 f(0)=a≧0 であり, x≧0でf(x)は単調増加(増加関数) だから f(x) ≧ 0を満たす。 ウ)1<a のとき,x=αで最小となるので f (a) ≧ 0 となればよい。 ここで, f(a) = -a3 +3a2+a=-a(a^-3a-1) であるので-a(a²-3a-1)≧0 ∴a(a²-3a-1)≦0 1 < aより 2 これと1<a より 1 <a≦ a2-3a-1≦0 3-v13 Sas3+√3 3+√13 1 a 2 2 ①,②, ③をすべて満たす範囲は L≦a≦3+ 3+√13 2
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