【高3 空間ベクトル】10月第2回ベネ駿記述模試ふ

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.10.13 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi
Z問題
Z6 直方体 OADB-CEFG がある。 △ABC の重心をSとし,
G
=
点Pを3SP OC +3OS で定まる点とする。 また, △ABC
F
を含む平面をα とし, 直線OP と平面αとの交点をQとする。
さらに,OA=d, OB=1, OC = c とし,d=13 とする。
(1)OPをa, b, c を用いて表せ。
E
iB
D
(2) OQをa,b,c を用いて表せ。 また, 線分 OQ が平面 α
に垂直であるとき,石との値をそれぞれ求めよ。
(3)3点CQ, Sは同一直線上にあることを示せ。 また, (2) のとき, 平面α上において,
点Sを中心として点Cを通る円をKとする。 点Rが円K上を動くとき, OR の最大値
を求めよ。
(配点 40)

ページ2:

自学@Akagi
~空間ベクトル~
(1) 重心の位置ベクトルの公式より
OS
-
OA + OB + OC
3
= -a+-b+-c
1→ 1→ 1
3 3
また 3SP = OC+30S の始点を統一すると
3(OP - OS) = OC +30S
よって
OP
=
OC
+ +2OS
1→
a+b+c
c+2x
→>
2- 2 =
= -a+-b+c
2|3
3

ページ3:

(2) 前半
Q は直線 OP 上の点だから、 共線条件より
OQ=kOP=-ka +=kb+kc (k: 実数) ・①
2
3
→>>
2
3
4点 O･A･B･Cは同一平面上になく、 Q は平面 α上にあるから、
3
係数和1の法則により2k+2/23k+k=1
..k
--
7
①に代入して
OQ
2-7
=a+デ
2
→
3
b+ C
7

ページ4:

(2) ▷後半
線分 OQ が平面αと垂直 OQ ⊥AB かつOQAC
ア : ベクトルの垂直条件より OQ・AB=0
よって
2 →
++
(—²¾³ã + ²³½³b+³½³ c) · (b− a) = 0
c)(b-a)=0 7 をかけて分母を払う
整理すると2.6-2102 +2162-26.a+3c.b-3c・a=0
だから a.b=b.c=cd=o
よって
- 2|a|2 +2|6|2 = 0
· ·|b| = |a| = √3
イ:ベクトルの垂直条件より OQAC=0
よって
2→ 2 → 3-
a+ ·b+
......
*
整理すると2ac-2|a|? +2b.c-2a.b+3|c| -3ca = 0
- 2|a|2 +362 = 0
* より
∴|c|
-
|a|
=
√2
xv3=√2

ページ5:

(3) ▷前半3点 C･S･Qは同一直線上にある共線条件が成り立つ
始点の統一により
CQ=OQ-Oc
=++
3
=-a+
=(a+b-2)
CS=OS-OC
-
c)
→>
=(-a+-b+
1→
a+
1 →
+-+-+-2×1
=(a+b-20)
3
0
-C
よってCQ=20
が成り立つから、 3 点C、S、 Q は同一直線上にある。 終

ページ6:

(3) ▷後半 お絵かき命(かなり変だけど)
Sを中心としてCを通る円をK & R が円 K を動く
同一直線上
So
R
△OQR は、 ㄥQ= 90度の直角三角形だから
OR2=OQ2 + QR'
OQは一定だから、QR が最大となるとき、 | OR|も最大となる。
ここで、QR が最大となるのは、 半径 CS を延長した直線と円 Kとの交点、
すなわち C を通る直径と円 Kとの交点が R になるとき(R = X)。
OR = OX = OC + 2CS = = a +=b
2
→
2 =
1→
--c
3
3
3
1
| OR |==| | 2a+2b-c|
=—=— (4|a|² +4|b|² + |c|² +8a·b-4b.c-4c.a)
=±± ±(4 × (√3)²+4× (√3)² + (√2)²)
=
26
|OR| >0より |OR|
||
26
タイピングしながら頭がワケワカメになった
3