【Ⅲ型：複素数平面】9月第3回全統記述高3模試

複素数平面複素数の応用平面図形と複素数

1836

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior HighKelas 3

去年の
自学

2025.09.22 公開

高3 数学c 複素数平面全統模試過去問自学赤城過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅲ型
⑤ 【Ⅲ型 選択問題】 (配点 40点)
2つの複素数とwの間に,
Bz
w=
z-a
なる関係式がある. ここで, a, β は複素数の定数であり, iを虚数単位と
して,
であるとする.
z=1のときw=2i, z = 2 のとき w = 2+2i
(1)複素数 α, β の値を求めよ.
(2)複素数平面上において,点zが実軸上を動くとき, 点wが描く軌跡を
図示せよ.
W
(3)複素数平面上において, 点 zが実軸の0以上の部分を動くとき, 点 w
が絵描く軌跡をC, 点(1+i) wが描く軌跡をC2とし,CとC2を合わせた
ものをCとする. Cが囲む部分の面積を求めよ.

ページ2:

W =
ß z
Z-a
@Akagi ở
/ z=1のときw=2i, z=2のときw=2 + 2i
式変形系はむずかしい･･･
(1) z=1のときw=2iだから
ẞ ×1
2i
=
-α
1
.. B = 2i - 2αi
①
z=2のときw=
ẞ × 2
=2+2iだから 2+2i=
2-a
.. 2ẞ = (2+2i)(2-a)
B = 2a+2i - ai
.....(2)
①,②より
=
2i-2ai 2-a +2i-ai
整理して
(1-i)α=2
:. α =
2
1-i
=
2(1+i)
=1+i
1-i²
a=1+i, ẞ=2
①に代入して β=2i-2(1+i)i=2

ページ3:

(2)(1)より
Bz
2z
W =
z-a
z-(1+i)
∴zw-(1+i)w=2z
∴(w-2)z = (1+i)w
(1+i)w
∴. z=
(w≠2)
w-2
この方が分母の実数
化が楽かなって
ここで,w- -2=w-2より分母にw-2, 分子にw-2をかけると
(1+i)(-2) (1+i)(w/2-2w)
z=
(w-2)(w-2)
=
|w-212
w=x+yi(a,bは実数) とおくと
x + yi |
=
√x² + y²
Z
(1 + i){ x + yi |² −2(x + yi)}
| (x + yi) − 2 |²
(1 + i){ x + yi |² −2(x + yi)}
|(x-2) + yil
(1+i){(x2+y^)-2x-2yi}
(x-2)2 + y2
x 2 + y2 -2x+2y x2+y2-2x-2y
(x-2)2 + y2
実部
+
(x-2)2 + y2
zが実軸上を動くとき虚部が0かつ 分母が0ぢゃない
よって x 2 + y2 - 2x - 2y = 0
かつ (x-2)2 + y2 = 0
(x-1)^ +(y-1)^ = 2 かつ (x,y) ≠ (2,0)
したがって, 点wは
点 (1,1)を中心とした半径の
~ただし, 点 (2,0)をのぞく~
を描く。
虚部
0
1
X

ページ4:

(3)点zが実軸の0以上の部分を動く
®:(x-1)^ +(y-1)^=2
かつ イ:(x, y)≠(2,0)
かつウ: x2 + y2-2x+2y≧0 (2)の実部
®(x2+y^-2.x-2y=0)より 2y=x^2+y^2-2x
ウに代入して
2y+2y0
.. y ≥ 0
π
▷ 1+iを極形式で表すと 1+i=√2(cos+isin
4
よって
(1+i)w=wx√2(cos+isin
in)
であるから, 点 (1 + i)w は点w を
0からの距離を√2倍してだけ回転した点
を表す。つまり,点 (1+i)w が表す軌跡は
(2, 0)を中心とする半径 2の円
▷ C, と C2 をお絵かきしてみると
Cが囲む部分の面積はG
(22zx2)+(2×2+2)-(v2π+2)
=2+2
2
1
0
1
2
でっかい円の3/4+直角二等辺三角形-ちっちゃい円の半分