ページ3:

No.
Date
Δ マイナスでわるとorかけると符号が変わる!
例311x+1≧1/2x-12/3
→3と2の最小公倍数である6をかけて分数をなくす
8x+6≧3x-2
8x-3x≧-2-6
目移項
5x≧-8
×3-8
コ両辺×
0
Point
・不等式は基本方程式と同じように解ける
しかしマイナスでかけるorわるときは不等号が逆向きに
解くときは①両辺に同じ数を+ する
または
②移項して文字のみの辺と数のみの辺にする
・分数は、分母どうしの最小公倍数を両辺にかける
CCCC
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RAT

ページ4:

No.
○] 絶対値を含む方程式・不等式
くそもそも絶対値とは…?>
→数直線上での原点からの距離を表す
例」121
=2
例211-51
=5
Date
例2
そしてふつう、次のことが言える。
5.
①方程式(x=Cの解はx=±C(上図)
②不等式121 <Cの解は-C<xc
-C
C
1つがCからCに収まる
③不等式(x1>㏄の解はx<-C.ex
TLILI
-C
6
例 (1)12x+11≦3
②より、
-4≤2x
≤2<
-2≤ x ≤ 1,5
-3≦2x+13
6/6/11xが,それぞれ
C
より出ている
(2)12-21≧1
③より、XC-2E-1,1≦x-2
x-2≤11≤ x=2
313≦x
"
それぞれで
解く
CCCC
-Point
・絶対値=数直線上の原点からの距離
・絶対値の中がマイナスのときはマイナスを外す
→具体的に数直線をイメージすると◎
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ページ5:

No.
Date
1発展場合分けして絶対値記号を外す
例 (1)1xc-41=3x
(1)x-430つまりx34のとき(1)x-40つまりょくのとき
式はx-4=3x
-2x=4
x=-2
★絶対値の中はマイナスになるので、
左辺にマイナスをかける
つまり、-x+4=3x
-4x=-4
x=1
これはx24を満たさない。
これは、xC4を満たす。
(i)(1)より、解はx=1"
(2)(x-41≦3x
(1)x34のとき、
式はx-4≦3x
-2x≤4
x≧-2
(ii)x<4のとき
x+4≦3x
-4x-4
同じく左辺にマイナスをかける
これとx≧4との共通範囲は
x≥
x34 (①)
これとつく4との共通範囲は
1≦x<4(②)
11/9/12 ①と②をあわせて、
4
x31,
H
また、(x+21x-21=5や1xc1-21x+31≧0のような絶対値が2つ
あるときはどちらの絶対値ものになるように、3つで場合分けする
Lif
Point.
00000
右辺にもxがあるとき、場合分けが必要!
絶対値の中が0になる値で分ける
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ページ6:

No.
Date
○グラフと方程式・不等式の実数解
実数解を確かめるには、「判別式日=b-40㏄」を使う。
<1>D>Oのとき
異なる2つの実数解をもつ。
<2> D=0のとき
実数解
<3>D<Oのとき
をもつ(解が重なったものと考える)
実数解をもたない
例1 (1) 2次方程式+7x+9=0(2)2次方程式4x-12x+9=0
a=1.6=7,C=9とする
0=42-4.1.9
=49-36
=1370 なので、
実数解の個数は2個
a=4.b=-12.C=9とする
D= (-12) = 4.4.9
=144-144
=0 なので、
実数解は1個
これらの条件から、係数の条件を求めよう。
例2 2次方程式-xtm=0の実数解が2個のとき、定数mの
範囲を求めよ。
a=l,b=-1,c=mとする。
D=(-1-4.1.m
31-4m-0
070
c c c c
よって、1-4m0
m<主のとき、D>0が
-4m >-1
成り立つ。
m <=
Point
判別式はD=13-4ac
判別式
D>O
D=0
D<o
実数解
"1
の個数
異なる2つ重解(1つ) 実数解なし
2個 1個 0個
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36AT

ページ7:

○グラフとx軸の位置関係
No
Date
前のページと同じで、共有点の個数が2個、1個、0個に分ける。
①共有点が2つのとき
例112次関数y=x²-4x+1のグラフと共有点
2+√3
これを解くと、x=23
よって、共有点の座標は
(2+3.0) (2-3.0).
△x軸と異なる2点を共有する
とき、「異なる2点で交わる」
ということもある。
②共有点が1つのとき
例21 2次関数y=x+4x+4のグラブと共有点
③共有点がないとき
これを解くと、x=2
よって、共有点の座標は
(2,0)
△このように、共有点が1個
のとき、グラフはx軸に接
するという。
例3 2次関数y=x4x+5のグラフと共有点
2
この式は判別式Dについて
解くと、
→x
2
D=(-4)-4.1.5
4<0となり
実数解をもたない。
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BAT

ページ8:

○2次不等式
470
No.
Date
例えば、このようなグラフがあった
場合、xの値によって出なのか
yoなのかが決まる。
この場合、x=1だと¥70,
x=茎だとyo.
というふうになることが分かる!
そのxの値の範囲を考えて解くのが
二次不等式。
① 2次不等式(関数)のグラフがx軸と異なる2点を共有する
例1(2次関数y=x6x+5.
まず、y=0を代入して0=x-6x+5
を解くと...(x-1)(x-5)=0
x=1.5となる。
そのため、共有点の座標も1.5となる。
また、例から、2次不等式x-6x+5>0の解は、yの値が
○以上になるxの範囲をとることから、x1,x>5
2次不等式2-6x+50の解は、yの値が
以下になる範囲のことだから、1<x<5.
xC
x<111Cx<551x>5
y=x^2-6x+5 +
1/1/10x05/5/x7
(2)2次不等式(x+2)(pc-2)≦0
(x+2)(x-2)=0をとくと、
x=2,2
CC
よって、この不等式の解は
-2≤x≤2
2
00
不等号の向き
☆xの係数が負のときは、両辺に×(-1)するとよい。 注意
不
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GAT

ページ9:

No.
Date
②2次不等式(関数)のグラフがx軸と1点を共有するとき
例21 (1) 2次関数y=x-6x+9
9>0
y=0を代入して0=x-6x+9
を解くと
(C-B)2=0
x-3=0
x=3となる。
x
3
そのためグラフとは(3,0)の1点でのみ接する
y=x-6x+9 +
3/3/
x<3/31x>3
○ +
例2から、2次不等式がx軸と1点を共有するときについて
2次不等式
解
コピー6x+9303以外のすべての実数(x+3やx<3,x>ろも)
x26x+9≧0 すべての実数
x²-6x+9<0.
x26x+9≦0.
解なし
x=3
③ 2次不等式(関数)のグラフとx軸が共有点がないとき
例31 2次関数yテコピー6x+10.
/g
470
(3F1)
この式を判別式日にかけると、
D=(-6)24.1.10
=-4<Oであるため、
実数解がない
そのため共有点がなく、
値はすべて+である。
例3から、2次不等式とx軸の共有点がないとき
2次不等式
x²-6x+1020
解
すべての実数
すべての実数
スピー6x+10≦0,x²-6x+1050
解なし
x-6x+10>o
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BAT

ページ10:

c c c c C
No.
Dare
Point
・二次不等式はグラフで考えると◎!
→そのとき、放物線(グラブ)とx軸との交点で考える
判別式D=b-4acを使って交点の
有無や実数解の数を判断できる
「すべての実数が解」「解なし」ということもある
CCCC
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ページ11:

No.
Date
○連立不等式
連立不等式一さっきの不等式を2つ連ねたもの
2つの籖の解が重なっている所が解となる
154 √5x+3>3x+1
1-x+4≧2(x+1)…②
217
①
まずはそれぞれの式を解く
①5x+3>3x+1
②-x+4≧2(x-1)
2x>-2
-xc+42x+2
↓かっこ外す
x > -10
い
-3x≧-6
X ≤2
・次に出てきた解を数直線上に表す
<T
#
その数を含むとき
-1
今回は色をつけた所が重なっている部分
よって、解は-1x≦2
#
→(ぬりつぶす)
含まないとき
→(白丸のまま)
また、不等式A<B<Cは、A<BとB<Cが同時に成り立つこ
とを表した式である。
例4xくろくx+4だと、
4-x<3x
3x<x+4
を表している。
学Point
・連立不等式は不等式の応用バージョン
・出てきた解の重なった部分が解
→数直線で整理すると便利
3つ連なった不等式は連立の形に変形できる
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136A1

ページ12:

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ページ13:

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teach, tell. lend
・だれかのために何かすること
cook find make get singbuy.
choose fiz
「だれに」と前置詞を使っ
S+V+0+ () +0
<第4文型> S
(H)) (PAE)
あの日
という
・たわがに何が通路
L
good
だれに
だれかに何かを直
L
we
for 目的のために
を示す。
と表示す。
<第5文型> S+V+O+C
LPoint その名詞が何と呼ばれているのnomeで表す。
させるのかと
してくれた」と
A good
だれかのために
Lacook find make get sing buy
choose T
Suocthos
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く
(80)
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+0
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