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2012年1月進研高1模試
♡ 2次関数♡
3 2次関数 f(x) = x2 + px -2 (p は定数)がある。 y=f(x) の
グラフの軸の方程式はx=1である。 また, -2a + 2≦x≦ a + 2に
おける f(x) の最大値をM,最小値を m とする。 ただし, aは正の定
数とする。
(1) p の値を求めよ。 また, y=f(x)のグラフの頂点の座標を求め
よ。
(2) mをαを用いて表せ。
(3)M-m=8a-4 となるようなαの値を求めよ。 (配点 20)

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2次関数 プチ解説
(1) f(x) = x2 + px -2 を平方完成すると
f(x)=(x+p)² -(p)² -2
=(x+=p) 2
2
-2
軸の方程式がx=1だから1p=1
よって
また,p=-2より
p=-2
f(x)=(x-1)^-3
よって, 頂点の座標は (1, -3)

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(2) aは正の定数だからa>0
定義域の最大値(a+2)は軸よりもおっきい
定義域の最小値 (-2a+2)が
i. 軸よりおっきい
ときと
ii. 軸よりちっちゃい
ときでわけて考えます
i.1<-2a+2,すなわち0 <a<
このとき
x=-2a+2で最小値をとるから
m=f(-2a+2)=4a2-4a-2
1
ii. -2a+2≦1, すなわち - ≤a のとき
x=1で最小値をとるから
m = = f(1)=-3
i, i より 0<a<1/2 のときm=4c²-4a-2
|2
≦a のときm=-3
自分でお絵か
きしてみてね♪

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(3)次の三通りにわけて考えてみます
i. 定義域の最小値と最大値がともに軸よりおっきい
ii. 定義域の真ん中が軸よりおっきい
. 定義域の真ん中が軸よりちっちゃい
i.1<-2a+2,すなわち0 <
0 < a < 1/1/0
のとき
自分でお絵かきしてみてね♪
○ M = f(a + 2) = a² + 2a - 2
om=f(-2a+ 2) = 4a2-4a-2
M-m=8a-4より
(a²+2a-2)-(4a²-4a-2)=8a-4
3a2+2a-4 = 0 ⇒ a=-
- 1±√13
3
これは条件を満たさないので不適です(´・ω・`)
ii.
1<--
▷▷ 定義域の真ん中の値は
{(-2a + 2)+(a + 2)}÷2 = --
=-1/24+2
-124+2,すなわち1/2 a<2のとき
○ M = f(a + 2) = a² +2a - 2
om=f(1)=-3
M-m=8a-4より
(a^+2a-2)-(-3)=8a-4
a2-6a +5=0 a=1,5
条件より a=1
-= a + 2≦1, すなわち2≦a のとき
iii.
-12a+2
○M = f (−2a + 2) = 4a2-4a - 2
om=f(1)=-3
M-m=8a-4より
(4a²-4a-2)-(-3)=8a-4
4a2-12a+5=0 ⇒
5-2
1
a=-,
2'2
5
条件より a==
2
i, ii, iii)
a=1,
5_2