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定義と定理
いろいろな三角形
定義
...
ことばの意味をはっきりと述べたもの。
定理
二等辺三角形
すでに証明されたことがらのうちで大切なもの。
図形の性質を証明するときの根拠としてよく使われる。
【定義】 二等辺三角形とは, 2つの辺が等しい三角形である。
【定理】 【1】 二等辺三角形の底角は等しい。
【2】
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に
2等分する。
【3】
三角形の2つの角が等しければ,その三角形は
等しい2つの角を底角とする二等辺三角形である。
正三角形
【定義】 正三角形とは,3つの辺が等しい三角形である。
【定理】 正三角形の3つの角は等しい。
直角三角形
【定義】 直角三角形とは,1つの角が直角である三角形である。
2つの直角三角形は,以下のどちらかが成り立つとき合同
である。
【定理】
【1】斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
【2】斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
【1】と【2】を,直角三角形の合同条件という。

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証明の定番基礎問題
~二等辺三角形の性質を利用した証明~
【1】 右の図で, CA = CB, DA = DB とします。
(1)∠ACD = ∠BCD であることを次のよう
に証明しました。 空欄にあてはまる適切な
記号または言葉を答えなさい。
E
[証明]
△ACD と( (ア) )において
仮定より
AC = (イ)
AD = (ウ
共通な辺より(エ
①,② ③より, 〔
-
(I)
〕ので
△ACD=(ア)
合同な図形の対応する(カ)は等しいので
∠ACD = ∠BCD
(2)(1)の結果から, CD が線分ABの垂直二等分線であることを
証明しなさい。

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【1】解答例
△ACD と(ABCD)において
(1)
仮定より
AC = (BC)
AD = (BD)
共通な辺より (CD) = (CD)
③
①,②, ③より, 〔3組の辺がそれぞれ等しい〕ので
△ACD = ( ABCD)
合同な図形の対応する(角)は等しいので
∠ACD = ∠BCD
△ABC は AC=BC の二等辺三角形であり,(1)の結果から
∠ACED= ∠BCD である。
よってCD は二等辺三角形ABCの頂角の二等分線だから,
底辺 AB を垂直に二等分する。
したがって, CD は線分ABの垂直二等分線である。
(これはできなくておk)

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証明の定番基礎問題
~二等辺三角形になるための条件を利用した証明~
【2】 右の図の△ABC は AB = AC の二等辺
A
三角形であり,∠ABC, ∠ACB の二等
分線をそれぞれひき, 交点をPとします。
このとき,△PBC は二等辺三角形で
あることを次のように証明しました。
P
空欄に当てはまる適当な記号または言葉
を答えなさい。
B
[証明] 二等辺三角形の(ア)は等しいから
∠ABC = ∠(イ)
仮定より
∠ABP = ∠(ウ )
∠ACP = ∠(エ
①,② ③ より
(ウ) = ∠( ①)
…①
これは△PBCの(オ)が等しいことを示しているので,
△PBC は二等辺三角形である。

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【2】 解答例
[証明] 二等辺三角形の(底角)は等しいから
∠ABC = ∠ACB ) …①
仮定より
∠ABP = ∠(PBC )
∠ACP = ∠(PCB )
① ② ③ より
ㄥ( PC )= ∠(PCB)
これは△PBC の(底角)が等しいことを示しているので,
△PBC は二等辺三角形である。

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証明の定番基礎問題
~直角三角形の合同条件を利用した証明~
【3】 右の図のような△ABC で,辺 BC
の中点M から2辺AB, ACに垂線
をひき, AB, AC との交点をそれぞ
れ D,E とします。
A
MD = ME であるとき, △ABC は
二等辺三角形であることを次のよう
に証明しました。 空欄に当てはまる
適当な記号または言葉を答えなさい。
D
#
B
M
[証明] △DBM と(ア)において
仮定より
MDB = (イ)=90°
MB = (
MD = ME
①,②, ③より,(
等しいので
(4)
)
E
I
)がそれぞれ
ADBM=( ア )
合同な図形の対応する(オ)は等しいので
<DBM = (カ)
これは(半)が等しいことを示しているので,△ABC
は二等辺三角形である。

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【3】解答例
[証明] △DBM と(
仮定より
ECM)において
=
MDB = (∠MEC) = 90°
MB = (MC)
MD = ME
① ② ③より、(直角三角形の斜辺と他の1辺)がそれぞれ
等しいので
△DBM≡(△ECM )
合同な図形の対応する(角)は等しいので
<DBM= (∠ECM )
これは(底角が等しいことを示しているので,△ABC
は二等辺三角形である。

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【4】 解答例
[証明] △DBC と ECB において
仮定より
=
BE = CD
<BEC = ∠CDB = 90°
( 共通な辺)より
(BC)=(CB)
･･･③
CB = BC でも可
①,②, ③より,(直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ
等しい)ので
△DBC=△CEB
(合同な図形の対応する角は等しい)ので
(
∠EBC= ∠DCB
底角が等しい
ので,△ABC は二等辺三角形
であり,その定義より AB = AC である。

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証明の定番基礎問題
~折り返し問題~
【5】 長方形の紙テープを図のように D
折り返しました。
A
このとき,重なってできる三角形
ABC が二等辺三角形であることを
C
E
B
次のように証明しました。 空欄に当
てはまる適当な記号または言葉を答えなさい。
[証明] 折り返す前と後の角は等しいから
<DAB = (ア
DA// EB で,平行線の(イ)は等しいから
<DAB=(ウ)
①②より
(ア)=(ウ)
...
(エ が等しので,△ABC は二等辺三角形である。

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【5】解答例
[証明] 折り返す前と後の角は等しいから
<DAB=(∠BAC )･･･①
※∠CAB でも可
※/CBA でも可
DA// EB で,平行線の( 錯角)は等しいから
<DAB= ∠ABC )…②
①,②より
(∠BAC ) = ( ∠ABC)
(底角)が等しので,△ABCは二等辺三角形である。

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証明の定番応用問題
~三段論法を使う問題~
【6】 図のように,直角二等辺三角形
ABC の直角の頂点Aを通る直線 l
に,BとCからそれぞれ垂線 BD,
CE をひきます。
e
E
A
D
このとき, BD + CE = DE である
ことを次のように証明しました。
B
C
空欄に当てはまる適当な記号または言葉を答えなさい。
[証明]
△ABD と△CAE において
仮定より ∠ADB= ∠CEA = 90°
AB = CA
∠BAC = 90° より
<DAB + (ア)=90°
△ABD の内角の和は180° より
<DAB + (イ) = 90°
③④より
)=(イ)
①,②, ⑤より,(
△ABD=△CAE
合同な図形の対応する辺は等しいので
BD = AE, CE = AD
よって
BD + CE = AE + AD = DE
である。
ので

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【6】 解答例
三段論法
『A=C,B = Cならば, A =Bである。』
※学校では(ほとんど)教えてくれないが証明では非常によく使う
E
l
A
D
[証明] △ABD と
仮定より
B
CAE において
∠ADB= ∠CEA=90°
AB = CA
∠BAC = 90° より
<DAB + ( ∠EAC ) = 90°
△ABD の内角の和は180° より
C
+
= 90°
三段論法
<DAB + ( ∠ABD ) = 90°
(4)
③ ④ より
(∠EAC ) = ( ∠ABD )
①,②, ⑤より,(直角三角形の斜辺と1つの鋭角が
それぞれ等しい)ので
△ABD = △CAE
合同な図形の対応する辺は等しいので
BD = AE, CE = AD
よって
BD + CE = AE + AD = DE
である。

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証明の定番基礎問題
~直角三角形の合同条件を利用した証明 part2~
【4】 右の図で,BE = CD,
<BEC = ∠CDB=90° のとき,
AB = AC であることを次のように証明
しました。空欄に当てはまる適当な記号
または言葉を答えなさい。
[証明] △DBC と ECB において
仮定より
BE = CD
<BEC = ∠CDB = 90° ……②
(ア)より
(イ)=(ウ)
① ② ③より,(
(
△DBC=△CEB
オ
∠EBC = ∠DCB
(カ
ので
B
A
I
)ので
)ので,△ABC は二等辺三角形
であり,その定義より AB=AC である。