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第4章第2節:加法定理
数研出版 数学 ||
兀
√√√5
練習 32
<a<πで, sinα =
2
※のとき,次の値を求めよ。
3
(1) sin2a
(2) cos2a
(3)
tan2 a
~2倍角の公式~
覚えずに加法定理を使ってその場でちょこっと導き出そう!
準備▷▷ sinaの相方を求めておく。 条件からcos α < 0 より
cos α = -v1 - sin 2 a
a = -
√5
tan α = sin a ÷ cos α =
÷
2
3
√√5
加法定理と3つのを使って求める。
(1)
sin 2α = sin(a + α) = sin a cos a + cos a sin a
(2)
cos 2a
=
=cos (a +α)
√√5
=
+-
√5
4√√√5
= cos a cos α - sin a sin a
= COS α - sin a
tan a + tan O
(3)
tan 2α = : tan (α+α)
tan α tan α
=-
√√√5.
2・(--
2
4√√5 ...劄
√5
<別解> (1)と(2)を使うと
sin 2α
4√√5
tan 2α =
cos 2α
9
1√/5 + ( − 1 ) = 4√5
(2)=45
÷

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第4章第2節:加法定理
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問6 次の等式を証明せよ。
(1) sin3 α = 3sin a -4sin³ a
cos3 α = - - 3cos a +4cos³ a
加法定理を使おう。
(1) 左辺 = sin(2a + α )
ここで
sin 2α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos(α + α) = cos α cos α- sin α sin α = cos² α - sin ² α
よって
sin(2α + α)
= sin 2α cos α + cos 2α sin a
= (2 sin α cos α) cos α + (cos ² α- sin² α) sin a
2
2
= 2 sin α cos α + sin α cos² α- sin ³ α
2
3
= 3 sin α cos² α- sin ³ α
2
= 3 sin α (1-sin² α) - sin ³ α
= 3 sin α- 4 sin ³ α
=右辺
(2)
左辺 = cos(2a + α)
= cos 2α cos α
-
2
2
sin 2α sin α
= (cos ² α – sin ² α) cos α- 2 sin α cos α · sin α
=
3
2
.
= cos ³ α- sin ² α cos α - 2 sin² α cos α
a
2
= cos α-(1-cos² α) ⋅ cos α- 2(1 - cos² α).
3
= cos³ α = cos α + cos ³ α - 2 cos α + 2 cos³ α
=-3 cos α + 4 cos³ a
==
·COS α
=
右辺
他の人の証明は見る気にならないね!

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第4章第2節:加法定理
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練習 33 次の等式を証明せよ。
(1)(sine + cos日)²=1+ sin2日
(2) cos4日 - sin40 = cos2 0
展開や因数分解、 加法定理を使おう。
(1) 左辺 = sin'0 + 2 sincos 0 + cos 20 = 1 + 2sin Acos 日
右辺 = 1 + sin( 0 + 0) = 1 + sin 0 cos 0 + cos 0 sin 0 = 1 + 2 sin 0 cos
したがって、与えられた等式は成立する。
(2) 左辺
= (cos20 + sin2日) (cos20-sin20)
=1(cos20-sin'日)
= cos 20 - sin 20
右辺 = cos(0+8)= cos0cos o - sin Osino
―
=
cos 20 - sin 20
したがって、与えられた等式は成立する。

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第4章第2節:加法定理
練習 34 半角の公式を用いて、 次の値を求めよ。
(1)
COS-
π
8
π
(2) tan
8
あまり公式は使いたくないけどしょうがない。
(1)
π
α=一のときを考えると
(2)
数研出版 数学 II
1
π
π
1+cos
1+
π
2
2 4
√√2+12+√2
COS
— = COS
8
2
2
2
2√2
4
COS
π
8
>0であるから
π
COS
8
π
=
12+√2
√2+ √2
4
2
α=一のときを考えると
4
tan
1
π
π
1-cos
1
2
24
4
√2 √√2.
-1
= tan
-=3-2√2
8
2
π
1
1+ cos
1+
√2+1
tan >0であるから
兀
8
tan
18
V3-2√2 = √(2+1)-2√2×1=√(√2-√I)²=√2-1…圀
=√
※数Ⅰの二重根号をはずすやつ

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第4章第2節:加法定理
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4
練習 35
· <α<πT, cos α = --
2
のとき, 次の値を求めよ。
5
a
a
a
(1) sin
(2)
COS
(3) tan
(1)
πT
半角の公式を使わせていただきますm(__)m
a
(1+1/2)+2=1/10
9
sin2012=0 (1-cosa)÷2=(1+-)÷2=
<α <π (第3象限)より
2
a
sin = +
9
3√√10
(2)
π
2
2
COS
a
2
=
= (1+cosa) ÷2= (1
<a<π(第3象限)より
10
10
-
÷2=
10
13
a
1
√10
COS
2
10
10
a
sin
a
2
tan
2
a
COS
2
---
:{
<α <π(第3象限)より
3√√10
V10.
-) }² = 9
10
10
π
|2
a
tan
19= -3.劄
2