ページ1:

実数xに対して、人を超えない最大の整数を[x]で表す。れを正の整数とし、
[v2n-kz]
an=
とおく。 このとき、limanを求めよ。
大阪大2000
k=1
n²
n→∞

ページ2:

実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]で表す。れを正の整数とし、
[v2n-kz]
an=
とおく。
このとき、limanを求めよ。
大阪大2000
k=1
n²
1700
【解答】
[x]≦x<[x]+1
<=> x-1<[水]≦xより
√zn'tc² -\ < [√zn²-k²] ≤ √zn=k²
124-12-1
n2
[√znzk²]
n²
n2
i) lim yen-ce
17700
nz
ii)
-√
=
I lim √2-(k)²
In no
√2-12
liment-1
n7∞
<=> lim π
no
f
4
ne
>
π
0
2
-15
ijii)よりはさみうちの原理を用いて、
TV
liman = x + 1/
n→∞
4
W
1
T
2TV
2π
希十
=
4
2
+
1/2×1
ft

ページ3:

2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる
数列を as,az,a3,,an,とする。
(1)1003は数列{an}の第何頃か。
(2) a2000 の値を求めよ。
(3)mを自然数とするとき、akの値を求めよ。
K=1
神戸大 1999

ページ4:

2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる
数列を as,az,a3,,an,とする。
(1)1003は数列{an}の第何項か。
(2) a2000 の値を求めよ。
(3)mを自然数とするとき、墓の値を求めよ。
【解答】
K=1
(1) 11,2,3,4,5,617,8,
↓
| 6K-5, 6k-4, 6k-3, 6K-2, 6k-1, 6k|
(3)
SWI WI
神戸大 1999
=
azk
Σ(azrt+azk)
2項あるので2mmに変わる。
Σ(6K-5+6K-1)
3の倍数
=> 16k-5, 2 (3k-2), 3 (2K-1), 2 (3K-1), 6k-1,2-3k |
2の倍数
m
azk-1
6k-5
数列anは、6k-5と6K-1で表すことができる。
…奇数項
K=
<ak
azk
167
=6K-1…偶数項
<=> 1003=167-6 + 1
(12K-6)
651003
6
-16-5になるように
1003=168-6-5
調整した。
40
=k-6-5
36
43
42
k=168よりa2k-1=6K-5なので、
=
=
Σ
K=1
m
=6(24-1)
K=1
=6.//mcm+1)-6.m
6mcm+1)-6m
6m²
1003は第2-168-項
第335項
#
(2) a2000は偶数項なので、
02-1000
= 6-1000-1
=6000-1
=5999
A.
5999
サ
2m
Σak
K=1
(m=1のとき、
=
6m²
豆ax = ac+az
K=1
=
6-1-5+6-1-1
中
=1+5
=6
6m²=6.1
= 6
Žax
6.12)
1ax=6.12

ページ5:

(すべての正の数x、yに対して、不等式
x (loga - log y) =α-|
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成立するのはx=yの場合に限ることを示せ。
(2)正の数えた、 …xnがΣx1を満たしているとき、
n
λ =1
Σxilogxi≧log/
が成立することを証明せよ。また、等号が成立するのはxにπ=ニズム
x=1/1の場合に限ることを示せ。
金沢大学 2002

ページ6:

(1) すべての正の数x、yに対して、不等式
x (loga - log y) =α-|
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成立するのはx=gの場合に限ることを示せ。
(2)正の数えた、 …xnがΣx1を満たしているとき、
n
λ =1
Σxilogtizlogi
が成立することを証明せよ。また、等号が成立するのはxx2=ニズムに
x=1/1の場合に限ることを示せ。
金沢大学2002
【解答】
(f(x)=x (logx-10gg)-(x-y)とおき、まを定数とみる(メプ、なつ)
f(x)
= (logx-logg)+x.1/2-1
foxy=logx-logy
f(x)=0のとき、
logx = logg
x=y
以上より増減表を書くと、
f'(x)>0のとき、
logx7logg
x
fix
f(x)
<=>α>Y
fra) = 2 (logy-logg) - (I-I)
-
0
+
0
= 0 -①
よって、増減表より常にf(x)≧Oなので、
x(logx-logy)ミx-2は成立する。
また、①より=yのとき、等号成立
大ニy=1として、より
ti (logt i - log n) ≥ ti-ŕ
(2)
i=1
stilogxizlogin
(1) Fu) x (loga-log }) =α-y
実験
i=1のとき、
i=1,2,3,…れについて考えると、
(発想
ヱ大logx≧log/
i=1
nxlogxzlogin
2種類の文字がでてきた
らそれぞれxyに入れてみる?
・し (10gx-10g/1)ミス一方
x2 (10gx2-10g/1/1)ミフュ一方
+ In (10gtm-10gi)≧xn一方
豆え(logti-10g/)三松一六
<=>
i=1
i=1
えぇlogti-log/1≧|-|
<= > Eti logri = logn
i=1
A
全部を足す!!
(1)よりx=g
つまり、
xiニ六のとき、
等号成立
#

ページ7:

△OABにおいて、点Gを品=K(JA+O)である点とする。また、2点P,Qを
OP=POR,OQ=g0B(0<P<1,0<q<1)である点とする。△DABと△OPQの面積をSS'とする。
(1)点GがΔOABの内部にあるとき、Kの満すべき条件を求めよ。(ただし、△OABの内部とは、△DABで囲まれる
部分から、その周を除いたものをさす。)
(2)3点G,P,Qが一直線上にあるとき、kをPとを用いて表せ。
(3) K=1であって、3点G,P,Qが一直線上にあるとき、の最小値を求めよ。
九州大 1997

ページ8:

△OABにおいて、点Gを品=K(JA+O)である点とする。また、2点P,Qを
OP=POR,OQ=g0B(O<P<1,0<q<1)である点とする。△DABと△OPQの面積をSS'とする。
(1)点GがAOABの内部にあるとき、Kの満すべき条件を求めよ。(ただし、△OABの内部とは、△DABで囲まれる
部分から、その周を除いたものをさす。)
(2)3点G,P,Qが一直線上にあるとき、kをPとを用いて表せ。
(3)k=主であって、3点G,P,Qが一直線上にあるとき、1の最小値を求めよ。
【解答】
(点Gが△OABの内部にあるとき、
OG = KOR + KOBJ
koo かつktk<1
J
.: 0 < k < 2
サ
(2)3点G,P.Qが一直線上にあるとき、下図のようになる。
PG:GQ=IS:Sとすると、
P
A
1-5
S
九州大 1997
(1-1)=k
品
= sop² + (1-5) 02
Pq-k&= PK
=
SP OA + (1-5) OB
k(P+q) = pq
また、OG=KOA+KOBより
Q
Pq
OSPくしより
·k=
8+6
k = SP
#
Pto
(1-5)8=
K
・B
S=
(3) S=△OAB
S=△OPQかつ=PJA,OQ=qより、面積比の関係より、
5 = 1. P.& = PB
(2) より Pq=KCP+b)
4
4P=P+q
=
+
4
2陰で
P30,970なので、
相加・相乗平均より、
40+/2
=
<=> 4 ミュ
2
割った
=P451
よって、の最小値は立
このとき等号成立は、
11=1=2PB=1/2のときに
<>2≧
<>4≧
<->=18-
成立する

ページ9:

座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。 nは自
然数であるとして、 不等式を満たす格子点の個数を求めよ。
x70, yoo, log₂ *
≤ x ≤ n
-
※
2x
(京大 1999後期)

ページ10:

座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。 nは自
然数であるとして、 不等式を満たす格子点の個数を求めよ。
x70, 170, log ₂-
≤ x ≤ n
-
※
2x
【解答】
log2 = xについて、
x
log, # / ≤ x
log2 = log2 2
底の2ははり大きいので、
½ 2×
y=x2x
また、
xnより
0<x≦n-②
(京大 1999後期)
ぷ
og≦x2x
以上より①、②を図示する。
増減表をOcxsnで書くと、
x
y=x24とおくと、
0
lim
n
x2x=0
2'
f
y=22+x-2512
=
2+(1+×10g2)
プロのとき、2X(1xlog2) 7より 20
lim
x-2x= +00
ス
n-2"
以上より、示される領域は下図のようになる。
y=x2x
→
0
n
※ただし、Ocy≦x2x,Ocxsnより、
OcxnのX軸上、および原点は
不等式の表す領域から外れる。

ページ11:

(K, K-2K)
X=Kについて考える。
O<k≤n
JKの直線上で、Ocgsk-2を満たす
範囲には、
(K.2k)
7x
k-2ュ
0
K-2 K-1
K+ 142
n
k
全部でに2コの
足し合わせればOK!!
→エ
格子点が存在する。
よって、領域内のすべての格子点の数は、
△x軸上は除外されることに注意!!
N = 1k-2k
k=1
コ
N=1.2′+2・23+3.2'+
-) 2N =
+1.22 +2.23+
---
th:27
+(n-1)-zn+n.2ntl
-N = (2 +2 +23+…+2)-n.zntl
S
2-(2-1)
=
21-2
2-1
"Sの部分は初項2,公比2の
等比数列の1からの項目までの和だから
-N=2mt-2-n.2ntl
N=n.2nti-antit 2
ntl
= (n-1)- 2h+1 +2
よって、求める格子点の数は
(n-1)2+2= (nは自然数)
#

ページ12:

(1) 0 ≤ On ≤ 1,
lim onを求めよ。
478
O₁ =
I Sin Ontl =
1-11-sinton
(n=12.3...)となる数列{o}がある。
(2) a=0 とする。 (1)の数列{on}を用いて、数列{x}を、x=
{x}が0でない実数kに収束するとき、aとkの値を求めよ。
sin on とする。
an
大阪教大

ページ13:

(1) 0 ≤ On ≤ 1,
O₁ = I Sin Onti =
11-11-sinton
√2
(n=12.3....)となる数列{o}がある。
lim onを求めよ。
478
(2) a=0 とする。 (1)の数列{on}を用いて、数列{}を、In=
{x}が口でない実数Kに収束するとき、aとkの値を求めよ。
(
DDなので、
Sin One =
cos ou 70, Sinon 70
2
半角の公式
1-cosom
=
sing
=
2
sino とする。
a"
Sin Ont
= Sinon
2
0outなので、
Ont
(2)
xn
sin on
an
=
Sinon
On
by Oc = 184. On = I (2)ht
=
2
「
lim Du=0
n
〃
On
an
Sinou
季しげて
On
an
T
Sin On
29
=
On
Sin On
On
an
TC
(zaja
2a1のとき、 (20) 0
2ac1のとき (2ajn0
2a=1のとき{n}は収束
a=1/2のとき、
Tim
In = πv
n→∞
iketa=1/2
サ
大阪教大

ページ14:

x70,y2,zプとする。対計量=本のとき,x+2g+3zの最小値を求めよ。
[神奈川 2011]

ページ15:

x2,y2,zプとする。奸計量=本のとき,x+2g+3zの最小値を求めよ。
[解答]
=(1,128)=()とする。
[神奈川 2011]
内積の公式より、
P.σ
cos=
また, cost≦1なので、
171181
(P. q)² = (prior
(1+2+3)²=(x+2y+3z)(文/+音+)
62 =(x+2g+32)
144≦x+2y+3z
A. 144

ページ16:

異なるn個のものからr個取る組合わせの総数をnchで表す。
(1)2以上の自然数kについて、kt3C4=Kt4C5-kt3C5を証明せよ。
(2)和密 KC4を求めよ。
(3)和密(k++6K3)を求めよ。
[静岡大 2016]

ページ17:

○テーマ:nerとヱの計算の確認と二次型の誘導に乗る。
異なるn個のものからト個取る組合わせの総数をnchで表す。
(1)2以上の自然数kについて、kt3C4=Kt4C5-kt3C5を証明せよ。
(2)和密 KC4を求めよ。
(3)和(k+6K3)を求めよ。
【解答]
(1)左辺 = (k+3)(k+2)(k+1k
右辺
=
41
(k+4)(K+3)(k+2)(k+1)K
5!
(k+3)(k+2) (k+1) k
51
(k+3)(k+2)(k+1) k
5.4.3.2.1
=
-
K[kt)(k+2) (K+3)
24
(x+3)(k+1)(k+1)k(K-1)
51
{(K+4)-(K-1)}
• $ = 1/k(k+1) (k+2) (K+3)
[静岡大 2016]
よって左右皿からと+3C4=Kt4C5-k+3C5
'
(2) (1)より
IM
K=1
K=1
K+3 C4
=
=
K2で川が成立するので
k=1は別にしておく
n
= (464) + Σ k+3 C4 = 4С4 + Σ k+C5 - kB C5
k=2
↓パタパタ展開
(els-5C5)+(ples-ses)+…+(ntals-neces)+(nipC5-Asses)
-505+7+45
- k+3 C4 = 4 C4 - 5C5 +n+4C5
=
boo(n+4)(nts)(n+2)(nt)n
(3) kt3C4=2/4(k+3)(k+2)(k+)k
A,
Kel
{k+3 C4 = 16h (n+1)(n+2) (n+3) (n+4),
K4+6K2= 24.
=1/4(k+5K+6)(KFK)
宮k4+6k3
=
= 24 (K4+ 6 k² + 11 k² + 6k)
よって、
ほしいものを作る
m
kt3C4-(11K+6K)より、
24.2k C4 - (1²+66)
1/4k² + 6k² = 24. 16 n (n+1)(n+z)(n+3)(n++) - {{n(n+1)(n+1) - {{n(ht)
=
=
son(nt){6(n+2)(n+3)(n+4) - 55(n+1)-90}
• 3 on (n+1)| 6(h³ + 9n²+ 26 h +24)-lion-55-90}
=2/06n(n+1) (on +54m²+46n-1)
(2)で求めた計算できる
誘導に乗る!!
A.k+6k=s/on(n+1)(6㎡+54n+46n-1)
#
#
#

ページ18:

曲線cg=x上の点P(a,at)における接線をli
点Q(lb)における接線を見とする。
ただし、auとする。人と人の交点をRとし、線分PR、線分QRおよび曲線Cで曲まれる図形の面積
をSとする。
(1) Rの座標をaclを用いて表せ。
(2)Sをaとbを用いて表せ。
(3) blが垂直であるときのSの最小値を求めよ。
dx2=2x
(1) y = x² F4
lil2の方程式は、
l₁ =
y = 2ax-az
lz:y=2lx-l
(東北大 2014)
②より
2(a-la)x=a-b2
2(a - b) x =
(a+u) (a-b)
acbよりa-b≠oなので両辺をa-bで割って、
x=1/2(ata) ・③
③そのに代入して,
g=2a.1/2(a+b)-02
= a² + al-a²
=al
∴bileの交点Rの座標はRCat,
(2)
P
ath
2
R
3
Q
→
左図より、求める面積Sは、
atle
au)
#
S=(c-lidx+
'a
" (C - li) dx + √fa (C - ls) dx
ath
a
(x-a)² dx +
ate
b
Cellzがx=aで接している
からこう変形できる!
(x-1) dx
athe
ath
=
+
L-
a
= + (ath - a)³ - + (ath -e)³
=
/(
/(ニーアマンページへ

ページ19:

曲線cg=x上の点P(a,at)における接線をli,点Q(lb)における接線を見てとする。
ただし、auとする。人と人の交点をRとし、線分PR、線分QRおよび曲線Cで曲まれる図形の面積
をSとする。
(東北大 2014)
(1) Rの座標をacbを用いて表せ。
(2)Sをaとbを用いて表せ。
(3)llが垂直であるときのSの最小値を求めよ。

ページ20:

↳ =
( 4 )³ + + ( 40 ) ³
= = ( 4-2 13
u-a
=
// (b-a)3
※
∴s=/(b-a)3
(3)llzが垂直であるとき、各直線の傾きの積は-1なので、
①、②より、
2a2l=
a b = -4
本間のポイント>
今、a.bの条件として手元にあるのは、acb, a=本の2つ。
ab=-4より abco araは異符号である。
もし、aが正つまり aso のとき, abco より baco
しかし、このことはabに矛盾してしまう。
よって、上記の2つの条件から、aco,boであることが分かる。
ふん中なので、a=-夜、これをS=//b-a)に代入すると、
S = (b+4)³
ひより、相加平均と相乗平均の大小より、
+ 4 = 2√
2
=
(等号成立は==/(Miraba=-1)
... bt # 21 <=> (but & 1 <=> f₂ (+ 1) = ½ x #3.
となる。
以上より、(a,b)=(立)で等号が成立し、Sの最小値は亢
二次関数と接線の面積公式を知っていれば使うのがよい
+
y=axfbx+c
== a(x-pjdx
=
[al

ページ21:

xg平面のg≧0の部分にあり、水軸由に接する円の列C,C2,3,
を次のように定める。
・CとC2は半径1の円で、互いに外接する。
.
正の整数nに対し、CuteはCntとCnに外接し、CnとCaflの弧および北軸で囲まれる
部分にある。
Cuの半径をrとする。
(1)等式峠
店を示せ。
(2) すべての正の整数nに対して赤=s+九がが成り立つように、hによらない定数のP.S.tの値を一組与えよ。
(3)naのとき、数列{}が正の値に収束するように実数Kの値を定め、そのときの極限値を求めよ。
<解答>
(1)条件より、円Cn,Cafl,Catzは下図のようになる。
Cn
Chfl
H3P
HF
C!Hz
(名古屋大 2014)
円Cn, Cnt, Catzの半径は、ra.rntlerate,
△ChHsCats, CnHi Catz, Cha H2 Cnt はすべて
直角三角形なので、三平方の定理を用いて
HsCmtl=/(rantham)-(ra-mat=2yininet
HiCntz=) (ratrate)-(rn-Fate)=20rninte
Chez
また、HzCati=HiCnt2+H2Cntzなので、
2/mratl=2yrarate +2,murnta
両辺を21rarattratzで割ると、
x
H2Cntz (titrne)-(ran-mes=21rnerinez
+
rnel
#
(2) An=病とすると、(1)よりAnti=Anttin
CoCoの半径は1であるので、犬に店=1,A2=店=1
ここで、メーメーに〇の解である大二重について、p=0とすると、
Anez = Anti+Anは、State -P Ant=b (Anti-PA)
Aatz-8 Anti=P(Ant-8)と変形できる。

ページ22:

xg平面のg≧0の部分にあり、水軸由に接する円の列C,C2,3,
を次のように定める。
・CとC2は半径1の円で、互いに外接する。
.
正の整数nに対し、CuteはCntとCnに外接し、CnとCaflの弧および北軸で囲まれる
部分にある。
(1)等式
+市を示せ。
Cuの半径をmとする。
(2) すべての正の整数nに対して赤=s+九がが成り立つように、hによらない定数のP.S.大の値を一組与えよ。
(3) n→wのとき、数列{}が正の値に収束するように実数Kの値を定め、そのときの極限値を求めよ。
(名古屋大 2014)

ページ23:

Anti-pbn=(A2-Px)-gat
tnf-qtn
=
(A2-bx-pa-l
<{
<=> {
Anti-Ptn=&n…①
Ant-qtn=ph
よってい
赤={(上)-(上)^}
一②より、
Az-PA1 = |- |-15 = It's s=%
tz-bt, = (- 1+√5 = 1-√ = P
tu- + (2"-p") = (2^-pm)
=
=(共)・(1)
=
5.
2n +t. ßn
Fil s=Fs, t=-1, d= Hrs ß= 1-√
15
(3) (2) F1 √ ===== (2^-13")
5
5
=
= rn=
an-pn
(2n-puja
5
=
k"
ku (an_Bugz
JA
数列{}が正の値に収束するためには、KC-2が正の値に収束することが必要
k" (2"-1")2
(※〆つBより長く1)
= (kay" {1-(f)"}²
64215
3+√5
=
ふと1の大小関係を追っていくと、
立
9-5
2(3-15)=3-15
0
Kα-71
lim_n
=
nook
5
K8=1
∞
KECI
よって、k=1つまり、K===35のとき、libsonは収束し、その値は、5
3-√5
..K=3-15, $33 BR 5
#