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次の条件(i),(ii),(iii)を満たす関数f(x)(x>0)を考える。
(i)f(1)＝0
(ii)導関数f'(x)が存在し,f'(x)>0(x>0)
(iii)第2次導関数f''(x)存在し,f''(x)<0(x>0)
このとき,以下の各問いに答えよ。
(1)a≧3/2のとき,次の3つの数の大小を比較せよ。
f(a),(1/2){f(a−(1/2))＋f(a＋(1/2))},∮(a−(1/2)→a＋(1/2))f(x)dx
(2)整数n(n≧2)に対して,次の不等式が成立することを示せ。
∮(3/2→n)f(x)dx<Σ(k＝1→n−1)f(k)＋(1/2)f(n)<∮(1→n)f(x)dx
(3)次の極限値を求めよ。ただし,logは自然対数を表す。
lim(n→∞)(n＋logn!−logn^n)/logn
(東京医科歯科大)