Senior HighSemua

すべての実数で定義され,何回でも微分できる関数f(x)が
f(0)＝0,f'(0)＝1を満たし,さらに任意の実数a,bに対して
1 +f(a)f(b)≠0であって
f(a +b)＝{f(a) +f(b)}/{1 +f(a)f(b)}
を満たしている。
(1)任意の実数aに対して,−1<f(a)<1であることを証明せよ。
(2)y＝f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ。
(京都大)