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((C)(E)) 6. 設n為正整數,則1+2+3++n的總和可能為下列何者?
n(n+1.
6. 1³ + 2³ +3³ +
(A) 1000
(B) 1024
[n(n+1)-
4
+ n² = (
[n(n+1))。
1000 [n(n + 1))? = 4000 > n(n+1)=20x10
(C) 1296
4
(D) 1331
(E) 2025
(C) O:
(D) X :
由
(E) :
故選(C)(E)
三、填充題(每題8分,共32分)
1 + r
r³-r
(A) X :
(B) X:
[n(n+1))?
4
[n(n+1)]-
4
[n(n+1)]]
4
7.
每項皆為正整數的等比數列<a〉,已知a+a=24,as-a=144,則此數列的首項
a₁ = 6
7. 設公比為,則a+ar=24………………………
lar-ar=144-
……………………… 2
[n(n+1)]2
4
兩個連續正整數之積不可能為64
=1296 [n(n+1)=2×3 ⇒n(n+1)= 72 n = s
= 1331 > [n(n + 1 )=4×1331,1331 不是完全平方數
= 2025 [n(n+1)] = 2' x31x5' n(n+1)=90=9
8設數列<a>的遞迴式為
=3n + 1
24.
--r--1(不合),(不合)或r-3.代人得a=6
144
9. a-ang=3(n+1)-2
8 : 4an + 3ag - j=0>4a=3am) >
(a₁ = 2
14a, +3a₁-1=0
3
數列<a>表首項a=2,公比r=-
4
故a=a(x)=2x (-2)=2x(-1024
= 1024 [n(n + 1 )]²=4096⇒n(n+1)=64
(多3個邊-2個重複點)
,n為正整數,則a=
4
9 據說畢達哥拉斯研究過這樣的問題:右圖中的黑點分
別落在正五邊形的頂點或邊上,第1圖有5個黑點,
第2 圖共有12個黑點,第3圖則有22 個點。設
為第n圖中黑點的總數,即 a = 5 , a = 12, a; = 22。
素養題
試求n≥2時,a-a-g=3n+1。
+ Xa₁ = 2
-的等比數列
243
512
5-3
第11
243
512
第2圖
第3
10 觀察右邊2×2與3×3方格中的數字規律,如果在 20 × 20 的方格
上,仿上面規律填入數字,則所填入的400 個數字之總和為
5530
10所求為1×1+2×3+3×5+4×7+…… +20 × 39
D
=1×(2×1 -1)+2(2×2-1)+3×12×3-1)+……+20 ×(2×20-10
=2×(1+2+3 + +20°)(1+2+3+………+20)
20×21×4120×21
=2x
<= 5530
四、混合題(共16分)
11 在半圓直徑兩端各寫上數字1,進行以下操作:
(C) a, =240
(D) as = 244
(E) a = 728
6.
第一次在半圓弧上取中點,並在中點寫上此弧兩端點的數字和計為G。
第二次在兩個圓弧上取中點,並在中點寫上此弧兩端點的數字和計為 a"
(請參考右圖,第一次操作後,總和為4;
第二次操作後,總和為10)
(1) 試問下列何者正確?(多選,全對得8分)
(A) a = 28
(B) a = 80
2
a = 4 'a = 10,a=28,a=82
即4,10,28,823 口
PREN
6 18 54.
(A) (D)
(2)如此重複操作,試求進行第n次後,此半圓弧上的所有數字和為何?(8分)
解:(1)由右圖可知
=4+
a=4+6+18+54+(54×3)=4+240=244
a=4+6+18+54+(54x3)+(54×3)]
(首項為6,公比為3的等比級數)
=4+
6×(3-1)
3-1
--4+3×(3-1)= 3 +1 = 729 +1 = 730
故選(AD)
(2)a=4(6+18 + 54 + …… )
2 | 2
(首項為6,公比為3,共1項的等比級數)
6×(3''-1)
3-1
-=4+3×(3'-'-1)=3×3" '-|=3"+l
5-4
2
2 13
2
3 133
