重要 例題 66 数列の和と期待値,分散
である。これらのカードをよく切って裏向けに積み重ねておき,上から順に1
枚ずつめくっていく。 初めてハートのカードが現れるのがX枚目であるとき
トランプのカードがn枚 (n≧3) あり,その中の2枚はハートで残りはスペード
(1) X=k(k=1, 2, ...... n-1) となる確率 pk を求めよ。
(2) Xの期待値E(X) 分散 V (X) を求めよ。
n-1
指針(2)期待値はE(X)=2, kpm を計算して求めるが, kw はんの多項式となるから、
kkk の公式 (p.438 参照)を利用してΣ を計算する。
計算の際, nはんに無関係であるから, Σnk=n∑k などと変形。
カニ!
(1) は,k枚目に初めてハートが現れ,それまではすべてスペードが現れる確率
解答
であるから
n-1
n
(2) E(X)= Σ kpr=Σk •
k=1
=
n-2n-3n-4
n n-1 n-2
=
=
k=1
.
2
n
n(n-1) (n ² k-2 k²)
k=1
k=1
n+1
3(n-1)
また
| n-1
n
E(X²)= Σk²pr= Σk².
k=1
2(n-k)
n(n-1))
2
n(n-1) 6 n(n+1){3n-(2n+1)}
•(n−1)=-
2
n(n²=1) {n• _{/{ n(n+1)= }}\n(n+1)(2n+1)}
n(n-1)
n+1
3
2
n
-D) (n ²k² - 2 k²³)
k2-
k=1
=
n-2-(k-2)
n-(k-2)
2(n-k)
n(n-1)
n-
[奈良県医大]
a
2(n-k)
-(k-1) n(n-1)
_ n(n+1)
6
よってV(X)=E(X2)-(E(X)}=n(n+1)(n+1)
(n+1)(n-2)
18
EA
基本 64
=
k=1
=0であるから
Σkpr=[kpk
k=1
k=1
またに関係しない n
の式をの前に出す。
k=n(n+1)
CL0502
2
n(n-1) {n² = n(n+1)(2n+1) − + n²(n+1)²} <2x²=n(n+1)*
—
2 k²= = n(n+1)(2n+1)
k=1
