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例題 188 指数方程式の解の個数[2]
思考プロセス
xについての方程式 4+ (a+1)2x+1+a+7=0 が異なる2つの正の解を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
ReAction 文字を置き換えたときは、その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題 76
4+ (a+1)2x+1 +α+ 7 = 0 が t=2* とおく
異なる2つの正の解をもつ
t2+2(a+1)t+α+7 = 0 が
どのような解をもつか?
対応を考える
1つのtの値に1つのxの値が対応
例題187 との違い・・・f(t) =αの形にすると, 式が複雑になることに注意。
| 4+ (a + 1)2x+1 +α+ 7 = 0 … ① とおく。
182
例題 2x = t とおくと, x>0より t>1であり, ① は
t° + 2(a + 1)t +α + 7 = 0 ... ②
底を2にそろえ,2^ = t
とおく。
平t=2x
ここで, t = 2x を満たすx は, t > 1 である tの値1つに
対して x>0であるxの値1つが存在する。
よって, xの方程式① が異なる2つの正の解をもつのは,
tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
y=f(t) noirA
YA
f(t) = t° + 2(a+1)t + α +7 とおくと,
(a+1)
IA
109 y=f(t) のグラフがt軸と t>1の範
2次方程式の解と係数の
関係
(1)
α+β = -2(a+1)
囲で2点で交わるのは,次の [1]~[3]
を満たすときである。
01
D> 0
[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると
3の場 2=(a+1)-(a+7)=q+a-6
4
a+α-6>0 より
平
(a+3)(a-2) > 0
よって α < - 3,2 <a
[2] y=f(t)の軸が t>1の部分にある。
y=f(t) の軸は t = -(a+1) であるから
-(a+1)> 1
(4)
よってa<-2
[3] f(1) > 0 であるから
f (1) = 3a+10 > 0
10
よって a>
3
t
aβ = a +7
を利用して
判別式 D > 0
(α-1)+(β-1) > 0
(a-1)(B-1)>0
からαの値の範囲を求め
てもよい。
②を
t2+2t+7=α (2t-1)
と分離して,y=ピ+2t+7
とy=α(-2t-1) が
t> 1 で異なる2つの共
有点をもつようなαの値
の範囲を求めてもよい。
③~⑤ より 求めるαの値の範囲は
10
<a<-3
3
10 -2
3-3
a
