97 群数列の基本
・本 例題
から順に自然数を並べて,下のように1個 2個 4個 となるよ
HORA 80
うに群に分ける。 ただし,第n群が含む数の個数は2個である。
1|2, 3|4, 5, 6,78,
(2) 第n群に含まれる数の総和を求めよ。
(1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。
CHARTO
O SOLUTION
群数列の基本
第に群の最初の項や項数
に注目
SISTO
例題のように,群に分けられた数列
2
......
k=1
2²-1-2-1-1
=
2-1
I) 第4群の末頃までの項の総数は 1+2+22+2=15
第5群の末項までの項の総数は
1+2+22+2+24=31
よって,第5群の初めの数は 16, 終わりの数は31 E-
(n=2のとき,第(n-1) 群の末項までの項の総数は
n-1
区切りを入れる
と分け方の規則
がみえてくる
2008> A
群数列
を群数列という。
(1)第4群の末頃までの項の総数を N とすると,第5群の初めの数は,自然数の
列の第(N+1)項である。また, 自然数の列の第1項の数は1となる。
(2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項
数がわかればよい。 初項は (1) と同様にして求まる。 項数は問題文から,すぐ
にわかる。
=2n-1-1
[類 京都産大〕
もとの数列
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重要 98
区切りをとると
もとの数列の規
則がみえてくる
(1+r) 20001
ゆえに、第n群の初めの数は (2'-' - 1) +1 すなわち 27-1
これは n=1のときにも成り立つ。
PAST
よって、第2群に含まれる数の総和は,初項が 2"-1, 公差が
項数が2" の等差数列の和となるから 求める和は
・2"-1{2・2"-1+(2″-1-1)・1}=2"-2(3.2"-1-1)=2232-1)
n-1
Σ2-1は,初項1,公比
k=1
2の等比数列の初項か
ら第 (n-1)項までの和。
[別解 第n群の終わりの数
は2"-1であるから, 和は
1.2"-'{2"-'+(2"-1)}
485
3章
12
種々の数列
