■ x, y が x2≦y ≦1のとき次式の最小値を求めよ.
(1)x +y
(2)4x+y
《解答》 不等式を xy 平面に図示すると右図の通り。
(1)
x+y=k ⇔ y = -x+k
①
ya
とおいてこの領域と共有点をもつようなkの最小値を求
める. そこで y = x2 の接線の傾きが-1 (=①の傾き)
になる接点を求めると,y' = 2x = -1より(-/12/14)
2
X
−1 0
この点は領域内の点だから、 ① がこの点を通るときには最小となる. よって
kの最小値は-123+1/2=-1
(2)
4
4x+y=1⇔y=-4x+10
②
とおいてこの領域と共有点をもつような1の最小値を求める.そこで
y=x2の接線の傾きが4(②の傾き)になる接点を求めると,
y=2x=-4より(-2, 4) この点は領域外の点だから,②が点(-1,1)
を通るときは最小となる. よって1の最小値は-4+1= -3