|整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。
対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」 ということを,どのような式で表すかがポイ。
基本 例題56 対偶を利用した証明 (1)
整数nの平方が3の倍数ならば, n は3の倍数であることを証明せト
OO00
で面倒である。そこで, 対偶を利用した(間接)証明 を考える。
対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを, どのような式で表すかがさ。
トとなるが,これは次のように表す(検討参照)。
n=3k+1[3 で割った余りが1],
なお,命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め,結論を導く証。
を直接証明法 という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように,仮定か
間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。
n=3k+2 [3 で割った余りが2]
解答
与えられた命題の対偶は
ロ
「nが3の倍数でないならば, n°は3の倍数でない」
である。
nが3の倍数でないとき, kを整数として,
○直接がだめなら間接で
対偶の利用
(p.99 の検討も参照。)
る のトお合S
n=3k+1 または n=3k+2
るさケ焼 (
と表される。
[1] n=3k+1のとき
n°=(3k+1)=9k°+6k+1
=3(3k°+2k)+1
3k+2kは整数であるから, n' は3の倍数ではない。
O ケ
43×(整数)+1の形の数に
3で割った余りが1の数
| 3の倍数ではない。
[2] n=3k+2のとき
n°=(3k+2)=9k°+12k+4
=3(3k°+4k+1)+1
3k2+4k+1 は整数であるから, n'は3の倍数ではない。
[1], [2] により, 対偶が真である。
したがって,与えられた命題も真である。
Kpl
検討)整数の表し方
