曲線の通過範囲 (1))国 O曲 a
例題 125
tet線 V=ー(x-a)+1-α° 0 について, aがすべての実数値をとって
恋化するとき,放物線のが通る座標平面上の範囲を図示せよ。
3
指針 放物線 1の頂点の座標は
よって,aが実数値をとって変化すると, 頂点が放物線
ソ=1-x° 上を動きながら平行移動する。求めたいのは、
放物線のが通る点(x, y)の関係である。
「放物線のが点(x, y) を通る」とは, 逆に考えると,「点
(x, y)を通る放物線 1がある」ということ。「①がある」
というのは,「① が成り立つような実数aがある」という
こと。すなわち
(a, 1-a)
10
x
放物線0 が点 (x, y) を通る →① を満たす実数 a が存在する
そこで,①をaについて整理し, ①が実数解aをもつような(x, y) の範囲を求める。
答案 のをaについて整理すると
2a-2xa+y+x?-1=0
(aの2次方程式と考
える。
0
のが点(x, y)を通るための条件は, ② を満たす実数aが
存在することである。
ゆえに,② の判別式を Dとすると
Oル- )-)
0く
D50 P
(実数解をもつ
→ D20
D20
-12
V2
D
=(-x)-2(y+x°-1)
x
して 4
すなわも=-2yーx+2
合D20 から
(031-
よって,求める範囲は, 右の図の
斜線部分。
ただし、境界線を含む。
x?
yミー+1
2
く
合融
メー まー-
代
