例題
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8個の玉を円形に並べるとき, 次の各場合について, 並べ方はそれぞれ何通り
あるか.
(1) 8個の玉の色がすべて互いに相異なるとき.
(2) 赤玉4個,白玉が3個, 黒玉が1個のとき.
xx (3) 赤玉4個, 白玉が2個, 黒玉が2個のとき.
アプローチ]
円順列では,回転して一致するものは同じ順列とみなします.したがって, 並べ
るもののうちの1つを特定できる場合は,それを固定して,残りの並べ方を普通の
順列として考えることができます。 (1), (2)はこの発想だけで簡単に解決できますが、
■解答
(1)8個のうち任意の1個の位置を固定すると, 並べ方はその1
個から右まわりに残り7個を並べることに対応する。 よって,
求める場合の数は 7!=5040 (通り)
(2) 黒玉が1個であるから, この位置を固定すると,残りの7個
をそこから右まわりに並べる場合の数と一致する. よって, 求
める場合の数は 7C4=35 (通り)
(3) 2つの黒玉の間にある玉の個数の多くない方をん (0≦k≦3)
とするんで分類する.
(i) k≦2のとき: 2つの黒玉をk個離して並べ, そのうちの一
方を指定しておくと, この場合の並べ方はそこから残り6個
をあいている所に右まわりに並べることに対応する. よって
場合の数は
64=15 (通り)
(i) k=3のとき: (i) と同様に黒玉の片方を指定して,そこか
ら残り6個を右まわりに並べる方法は15通りある. 回転で
移り合うとすれば黒玉の配置より180°回転であるが, 自分
自身に移り合うのは黒玉の間の玉の配列がともに右まわりで
赤赤白,赤白赤,白赤赤のいずれかになっている場合である.
よって、 場合の数は (15-3)÷2+3=9 (通り)
(i), (ii) あわせて
3×15+9=54 (通り)
注 (3) の(ii)が納得できない人は, 実際に図をかいてみると良い.
それができる人も偉い!
7か所から赤玉を
おく4か所の選び
方.
| 上と同様
( ○ : 黒以外の玉)
1k≦2 なるkは3
通り.
