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習問題 22次方程式の解
xの2次方程式 2x2-kx+k+6=0 … ① について,次の間に答えよ。
[アイ ± ■ウエ
オ
(1) k=-5 のとき, 方程式 ① の解は x
である。
この2つの解のうち小さい方の数をαとすると,na<n+1 を満たす整数nの値はn= カキである。
(2)(1) で求めたnに対して, 方程式 ①がx=nを解にもつとき,kの値はk = クケとなる。
850
このとき 方程式 ①のnと異なる解はx=
である。
(3) 方程式 ①が重解をもつようなんの値とそのときの方程式 ① の重解を求めると,
①
k = サシ のとき, 重解は x=スセ k=ソタ のとき,重解はx=チである。
解答
(1) k=-5 のとき, 方程式 ① は 2x2 +5x +1 = 0
Key 1
解の公式により XC
5±√5°-4・2・1 -5±√17
=
2.2
4
よって a =
-5-√17
4
4 <√17 < 5 より, -5 -√17 < -4 であるから
-10<-5-√17 < - 9
=18-8|
9
問題文の空欄の形から因数分
解できないと予想できる。
16 <17 <25 より
①友4/175
各
1倍すると
55-√17
ゆえに
2 [お] [4]
すなわち,
52
<a<--
9
4
であるから-man-2
M
したがって
n=-3
(2)方程式 ① が x = -3 を解にもつとき, x=-3を①に代入して
> -√17 >-5
(不等号の向きが逆になるこ
に注意)
0.72(-3)2-k・(-3)+k+6=09 = 8-8.8| 大
4k + 24 = 0 より k = -6
このとき, 方程式 ① は 2x2+6x = 0
2> <-
2x(x+3)=0 より
x=-3, 0 成り立
914
よって, x=-3 と異なる解は
x=0
(3)方程式 ①の判別式をDとすると
20
D=(-k)2-4.2. (k+6) = k² - 8k-48
Key 2
方程式 ① が重解をもつときD=0
k2-8k-48= 0 より
(-12)(k+4)= 0
よって, 求めるんの値は
k=-4,12
k=-4 のとき, 方程式 ① は
2x2+4x+2=0
よって, x2+2x+1= 0 より (x+1)2 = 0
2次方程式 ax2+bx+c=
8+ 重解をもつ
判別式 D=62-4ac = 0
2次方程式 ax+bx+c=
重解をもつとき, b4ac
であるから、 解の公式によ
b
2a
であるこ
ゆえに、求める重解は
x=-1
12
k=12 のとき, 方程式 ① は
2x2-12x+18= 0
解はx=-
よって, x2-6x +9 = 0 より
(x-3)20
用いてもよい。
ゆえに, 求める重解は x =3
15
SS
攻略のカギ
