第3章
図形と方程式
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例題
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座標を用いて点Pの軌跡を求める手順は,次のようになる。
1 条件を満たす点Pの座標を (x, y) として, P に関する条件を
x,yの式で表し,この方程式の表す図形が何かを調べる。
2 逆に,1で求めた図形上のすべての点Pが, 与えられた条件
を満たすことを確かめる。
原点からの距離と, 点A(3,0) からの距離の比が 2:1 である
点Pの軌跡を求めよ。
解答点Pの座標を (x, y) とする。
y
Pに関する条件は
OP(x, y)
10
10
OP: AP=2:1
A
0
3
x
これより
2AP= OP
すなわち
4AP2 = OP2
15
AP2=(x-3)2+y^, OP2 = x2+y^
を代入すると 4{(x-3)2+y^}=x2+y2
整理すると x2-8x+y+12=0 すなわち (x-4)2+y2=22
したがって,点Pは円 (x-4)2+y2=22上にある。
逆に,この円上のすべての点P(x, y) は,条件を満たす。
よって, 求める軌跡は,点 (40) を中心とする半径2の円である。
200
練習
点A(-3, 0) からの距離と, 点B ( 2, 0) からの距離の比が 3:2であ
31
る点Pの軌跡を求めよ。
補足 一般に,点Aからの距離と,点Bからの距離
の比が min である点Pの軌跡は,m≠n の
A -mn B
とき円になる。 この円をアポロニウスの円
という。この円は, 線分AB を min に内分す
m.
25
25
る点と外分する点を直径の両端とする円である中
