問
165 四面体 (II)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり, ABを1辺と
する正四面体 ABCD を考える.
(1) YABI, AB AC を求めよ.
(2) 辺AB をt: (1-t) に内分する点をPとするとき, PC・PD,
IPC をtで表せ.
A
(3) CPD=0 とおくとき, cose をtで表せ.
(4) cos A の最小値と,そのときのtの値を求めよ.
精講
(1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか? と
思った人は問題文の読み方が足りません。
「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体
でしょうか.
2) 164 のポイントにあるように,平面 PCD で切って平面の問題にいいかえ
ます。
3) 空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです.
(1) AB= (2,1,2) だから,
JAB|=√4+1+4=3
解答
また,△ABCは正三角形だから,
<BAC=,|AĆ|=|AB|=3
π
4.AB.AC=|AB||AC|cos 1/57
3
1 9
=3.3.
2 2
1-t
B
(2) PC=AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
.. PC・PD=(AC-tAB) (AD-tAB)
=AC AD-tAB・AC-tAB・AD+t2|AB12
