基本 例題 150 対数微分法
次の関数を微分せよ。
(x+2) 4
(1) y=x2(x^2+1)
3
(21) 13
微分することもできるが計
針 (1) 右辺を指数の形で表し, y=(x+2) 13
算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では,まず,両辺 (の絶対値)
の自然対数をとってから微分するとよい。
解答
(1) 両辺の絶対値の自然対数をとって
・積は和,商は差, 乗
倍となり,微分の計算がらくになる。
(2)(x)=nx-1 や (ax)' =α*10gaを思い出して,y'=xxx-1=x* またはy=x*log x と
するのは誤り! (1) と同様に, まず両辺の自然対数をとる。
【CHART 累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分する
10g|x|= 1/12 (410g|x+2|-210g|x|-log(x+1)}
4
y_1
²/1² = 1²/31 (11/1²
y
両辺をxで微分して
よって
(2) y=x* (x>0)
y'
3\x+2
2
2x
14x(x2+1)-2(x+2)(x2+1)-2x2(x+2)
(x+2)x(x2+1)
2 (4x2-x+2)3/
x+2
3x(x²+1) √ x²(x²+1)
3
1 -2(4x²-x+2)
(x+2)^
3
3(x+2)x(x2+1) V x2(x2+1)
[(2) 岡山理科大]
y
基本 149
loga
1|y|=;
として両辺の自然対数をと
る (対数の真数は正)。
なお、 常に x2 +1> 0
M
N
|x+21¹
x2(x2+1)
対数の性質
loga MN=loga M+loga N
-=loga M-loga N
10gaM=kloga M
(a>0, a 1, M>0, N>0)
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5章
20
三角、対数、指数関数の導関数
