重要 例題 8
83
複素数の実数条件
00000
絶対値が1で,2-zが実数であるような複素数zを求めよ。
基本 79,81,82
CHART & SOLUTION
複素数の実数条件
αが実数
a=α
との和と積の値からとを解にもつ2次方程式を作る書
解答
a
cos 0, b
(a+s).
||=1 から
| z | 2=1
ゆえに zz=1
zz=|2|2
また
は実数であるから
23-2=23-2
αが実数⇔d=a
ここで, 2-z=z-z=(z)-スから
(2)³-2=23-2
したがって 23-(2)3-(2-2)=0
(左辺)=(z-z){z2+z2+(z)2}-(z-z)
形式で=(z-z){z°+1+(z)−1}
10_=(z-z){z2+(z)2}
(2-2){22+(z)2}=0
よって
ゆえに zz または22+(z)2=0
[1] z=z のとき
の適の形式
zは実数である。
よって, |z|=1 から
a-β=a-B
a=(a)"
a3-63
=(a-b)(a2+αb+62)
zz=1
inf. z=a+bi (a, 6 は実
数) とおき, zに代入
する方針でもよい。
|z|=1からa+b2=1... ①
z-z= (a-3ab2-a)
+(3a2b-b³-b)i
1/2sこれの虚部が0であるから
z=±1
b(3a2-62-1)=0 ... ②
① ② から