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SELECT
82
目標解答時間
15分
90
難易度 ★★
平面上に、どの二つの円も互いに2点で交わり、どの三つの円も同
一の点で交わらないように個の円 Cie Ca. C をかく。この
一個の円によって,平面Aがα 個の部分に分けられているとする。ただし、
は自然数である。
A
このとき, a1= 2, a2=4, as= ア である。
太郎さんと花子さんは、円を1個ずつ増やしたときのaについて考察している。
太郎:Ciは平面を二つの部分に分けるから 2, CsはCによって分けられたの
部分をそれぞれ二つに分けるからと考えることができ, Q.+1=24 を満た
そうだよ。これはαアも満たしているね。もし数列{on) が a1=2,x+1=2
1,2,3で定まるなら, 4.2 ①となるけど正しいかな。
花子 Ci, Cz, C, C を実際にかいてa の値を確認すると,①は
A
Da 08
26
(1) Ci, C1, ......, C. によって 個に分けられたAの部分のうち, Co.が通らない部分の個数
を by として考える。 by n=1から順に調べると
b1=0, b2=0.bs=ウ,b=6,b=12,b=20
である。 また, 数列 (b.) の階差数列は等差数列であるという。このとき,一般項b. は、
b. n- オ n+
の解答群
⑩ +1=a+b
であり, キ (n = 1, 2, 3, ...) ･･････ ② が成り立つ。
a-an-b
Q.12a.+b
a+1-2a-b.
(2) C1 C, Cz, ......, C. の交点に着目して考える。
n=3のとき,C, C, C, との交点は全部で
あるから,Cの間はケ 1個の
弧に分けられる。このケ 個の弧それぞれに対して, A の部分は1個ずつ増えるから,
a=as+ケ が成り立つ。
間違いだとわかるね。
太郎: どこで間違えたのかな。
花子: Ct, Cr, Cによって7
C が通らない部分が
個に分けられたAの部分のうち,
あることがポイントになりそう
Gal
13
G
ax+1=a+
が成り立つ。
1 と C1, 2, ......, Cm との交点は全部でコ 個あるから, Ca+1 の間は サ 個のに
分けられる。 この サ 個の弧それぞれに対して, Aの部分は1個ずつ増えるから.
18
だよ。
0
コ
サ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
の解答群
n-1
21
n+1 ③ 2(n-1) ④ 2n
⑤ 2(n+1)
-1
①n
n+1
2n-1 ④ 2枚
(5) 2n+1
(3)
:
太郎(1)の②と(2)の ③ のどちらの漸化式でも数列{a} が定まるね。
花子 ③の方が数列{az} の一般項を求めやすそうだね。
数列 (a.)の一般項は,n+ ス である。
(配点 15)
(公式・解法集 93 94
95 101
PASAPO
D
200
