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158 三角形の成立条件、鈍角三角形となるための条件 ①①
|AB=2, BC=x, CA=3である △ABCがある。
xのとりうる値の範囲を求めよ。
△ABC が鈍角三角形であるとき、xの値の範囲を求めよ。
三角形の成立条件|b-c| <a <b+c を利用する。
指針
ここでは, 3-2|<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2) 鈍角三角形において,最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が鈍
角となる場合を考えればよい(三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考える
ことになる)。そこで,最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えば CA(=3) が最大辺とすると,
∠B が鈍角 cos B <0⇔
となり、
等式が得られる。
(1) 三角形の成立条件から
1<x<5
練習AB=xBC
c²+a²-b²
2ca
2
[類 関東学院大 ]
P.248 基本事項 3 4 重要 159
a=x を代入して,xの2次不
+α²が導かれる。これにb=3,c=2,
3-2<x<3+2
よって
解答
(2)どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。
[1] 1<x<3のとき,最大辺の長さは3であるから,そ
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
3²>2²+x²
すなわち
x2-5<0
よって
ゆえに
1<x<3との共通範囲は
1<x<√5-1+up+³xl
[2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから,そ
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
x2>22+32
すなわち
x2-13> 0
よって
(x+√13)(x-√13)>0
ゆえに
3≦x<5との共通範囲は
√13 <x<5
[1], [2] を合わせて
1<x<√5,√13 <x<5
考鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目
し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
<0c²+a²-b² <0
x<-√13,√13 <x
(x+√5)(x-√5) <0_ ) - ( [+xS) + (−
-√5<x<√5
(1+78)(1-5)S
|x-3|<2<x+3または
|2-x|<3 <2+x を解い
てxの値の範囲を求め
てもよいが, 面倒。
(1) から 1<x
[1] 最大辺が CA=3
CA
Cart3である△ABCがある。
20
3
B
C
x
B>90°⇔ AC² > AB2+BC2
(1) から x<5
(18)(1-A
259
[2] 最大辺がBC=x
(+S)(1-2
S) (B
STA>90° BC²>AB²+ AC²
3
x
4
章
正弦定理と余弦定理
[類 久留米大 ]
par
