統計的な推測
Lak
メージ
二項分布の正規分布による近似
二項分布と正規分布の関連について調べよう。
1回の試行で事象Aの起こる確率をするとき,この試行をn回
行う反復試行において, A の起こる回数を Xとすれば, Xは二項分布
10 B(n, p) に従う確率変数である。 X=r である確率を P, とすると
Pr=nCrprqn-r
n
ただし, q=1-p,r= 0, 1, 2, ......,
であり,Xの期待値E(X),標準偏差 o(X) は,次のようになる。
E(X)=np, o(X)=√npa
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二項分布 B(n, 1/12) に従う確率変数Xについて, n=102050の
15とき,確率 Pr を求めて折れ PrA
線グラフをかくと右の図のよ
n=10
0.3
うになる。
このXと期待値,標準偏差
n=20
0.2
の等しい連続型確率変数が従
n=50
5n
n
20 正規分布 N
6' 36
(
の分
0.1
布曲線を重ねてかくと右の図
のようになる。 この図から,
0
5
10
15
20 r
二項分布のグラフの形は, nが大きくなるにつれて正規分布曲線に近づ
くことが予想される。 また, 実際にそうなることが知られている。