3. 何度か出てきましたが,ここで凸不等式について確認しておきます.
関数 f(x) が区間 I = [a, b] (a<b)で第1次導関数 f'(x) をもち, I で
f'(x) が単調に増加するとき(下に凸 15 (0),すべてのxelで次の不等
式が成り立つ、
(I)
f(x) ≥ f'(p)(x − p)+f(p) (pel) ...... (*)
(等号が成り立つのはx=pのとき)
(II)
f(x) ≦
b-a
f(b)-f(a)(x-a) +f(a)
..(*)
S
(等号が成り立つのは x = a, bのとき
《証明》(I) g(x)=f(x)-f'(p)(x-p)-f(p) とおくと,
g(x) = f'(x)-f'(p) は Iで増加だから,
X
a
g'(x)
10
P
右表から
g(x)
b
+
07
g(x) ≧g(p)=0 (x∈l)
これはp=a, bのときも成り立つので, (*) が示された.
(II) m = b-a
f(b)-f(a), h(x)=f(x)-m(x-a)-f(a) とおく.平均値
の定理からm=f'(c), a <c <b となるc が存在する. h'(x)=f'(x)-m
b
は I で増加でh' (c) =0だから, 右表から
h(x) ≤0 (x Є I)
X
a
h'(x)
-
+
0
h(x)
0
0
等号は x = a, b のときだから, (*) が示さ=(z)
れた.
上に凸なら不等式が逆向きになり,これらにより 「凹凸」から「曲線と接
線・弦の上下関係」 がわかります(15 フォローアップ 2+6