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基本 例題154 三角形の
AB=2, BC=x, CA=3 である△ABC がある。
(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
にめの条件
(2) AABCが鈍角三角形であるとき, xの値の範囲を求めよ。
AP.230
基本事項 3
指針>(1) 三角形の成立条件 6-c<a<b+c を利用する。
ここでは、|3-2|<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2) 純角三角形において, 最大の角以外の角はすべて鋭角であるから,
なる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より, 覧大のをあ、
る)。そこで, 最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えば CA(3) が最大辺とすると,
2+d-b<0
→d+d-サ<
ZBが純角 ← cos B<0 →
2ca
となり、が>c"+α'が導かれる。これに6=3, c=2, a=xを代入して
が得られる。
解答
4x-3<2<
12-x<3<-
xの値の範囲
いが、面倒。
『(1) 条件から
3-2<x<3+2
よって
1<r<5
(2) [1] 1<x<3のとき,最大辺の長さは3であるから, その
対角が 90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
すなわち
x-5<0
よって
-5<xく5
1<xく5
ゆえに
B>90°→A
1<x<3との共通範囲は
[2] 3Sx<5のとき, 最大辺の長さはxであるから, その対
角が 90°より大きいとき鈍角三角形になる。
x>2°+3°
x-13>0
(x+V13)(x-V13)>0
*<-V13,
A
2
ゆえに
B
すなわち
A>90°=E
よって
ゆえに
13<x
3Sx<5との共通範囲は
[1], [2] を合わせて
V13<x<5
1<xく5, V13<くr<5
参考 鋭角三角形である条件を求める際にも, 最大の角に着目し,
最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
