〈栃木·数·式の利用)
図1のような、縦a cm, 横bcm の長方形の紙がある。この長方形の紙に対
して次のような【操作】を行う。 ただし, a, bは正の整数であり, a<bとする。
【操作)
長方形の紙から短い方の辺を1辺とする正方形を切り取る。 残った四角形
が正方形でない場合には, その四角形から,さらに同様の方法で正方形を切
り取り,残った四角形が正方形になるまで繰り返す。
例えば、図2のように, a=3, b=4の長方形の紙に対して【操作】を行うと。
1辺3cmの正方形の紙が1枚, 1辺1cmの正方形の紙が3枚,全部で4枚の正
方形ができる。
このとき、次の(1), (2), (3), (4)の問いに答えなさい。
(1) a=4. b=6の長方形の紙に対して【操作】を行ったとき, できた正方形の
うち最も小さい正方形の1辺の長さを求めなさい。
(2) nを正の整数とする。a=n, 6=3n+1の長方形の紙に対して【操作】 を行っ
たとき,正方形は全部で何枚できるか。 n を用いて表しない。
(3) ある長方形の紙に対して【操作】を行ったところ, 3種類の大きさの異なる正
方形が全部で4枚できた。これらの正方形は, 1辺の長さが長い順に, 12 cm
の正方形が1枚,c cm の正方形が1枚,y cm の正方形が2枚であった。この
とき、む,4の連立方程式をつくり,x, yの値を求めなさい。ただし、途中の
式も書くこと。
(4
A b= 56の長方形の紙に対して【操作)を行ったところ、3種類の大きさの異な
る正方形が全部で5枚できた。このとき,考えられるaの値をすべて求めな
さい。
