ここで,前ページの基本例題216同様, 部分積分法を再度用いて①の中の\e" cosxdxを
"sinxdx を求めよ。
不定積分*
363
基本 216
Se'sinxdx=\e"ysinxdx=e'sinx-{
指針> 部分積分法により
重要218
le cosx dx
計算すると、もとの積分\ers
求める。または
Se'cos.x dx=\(e*)' cos x dx=e"cos.x+\e"'sinxdx
の
sinxdx(=Iとする)が現れるから, Iの方程式を導いてIを
7章
31
② であるから,
T-\e*cos x dxとすると, ①, ②より I,Jの連立方程式が得られ, これを解いてI,Jを求
っt
めるという方針で進めてもよい(ここで, IはJで, JはIで表されているから, I, Jを同
形出現のペア ということができる)。
なお,別解では, e*sinx, e*cos.x を微分した式に注目する方針で進めている。
CHART 積の積分 e*sinx, e"cos.xなら同形出現のペアで考える
解答
1=)e*sinxdx とする。
I=\(e")'sinxdx=e"'sinx-\e*cos.xdx
=e*sinx-\(e*)°cos .x dx
(-cosx)'dx と考えて
もよい(結果は同じ)。
ac
=e'sinx-(e" cos.x+
4同形出現。
200
=e*sinx-e* cos x-I
よって21=e*sinx-e*cos x
1
「不定」の意味で積分定
Cをつける。Cはまと
最後につけるとよい。
積分定数を考えて
I=-e(sinx-cos.x)+C
開 /-Se"sin.xdx, J=Sercosxdx とする。
(e*sinx)'=e*sinx+e*cos.x
(e*cos x)'=e*cosx-e*sinx
であるから,2つの式の両辺を積分して
e*sinx=I+J
和の
(1, Jの連立方程式
(積分定数Cを落
ように。
の
の, e*cos.x=J-I·
1
(D-2)-2から
1=se(sinx-cos.x)+c
不定積分の置換積分法·部分星
