Question

らんちゃん

解ける方いませんか？数3です🙇

ye 削還を和有理攻と7(②=cTeg+学zeーD とおく。湊をや

(の。 の。 のが整数ならば, 任意の整数ヵに対して了(ヵ) は整数である。
(2) 1つの整数々に対してア(ヵ), 7(ヵ填1), 7(ヵ十2) が整数ならば, のo, @の, の
は整数である。                                    (18 中央大]

)
)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Rya

(1)f(n)＝ a₀ + a₁n + a₂n(n-1)/2
n-1とnは連続する2整数であるため、その数の積は2の倍数である。よってn(n-1)/2は整数となる。
以上よりa₀, a₁, a₂が全て整数のとき、
a₀, a₁n, a₂n(n-1)/2は全て整数になるのでf(n)は整数になる。

(2)
a₀＝b₀/c₀, a₁＝b₁/c₁, a₂＝b₂/c₂とおく。
(ただし、b₀とc₀、b₁とc₁、b₂とc₂はそれぞれ互いに素で、b₀、b₁、b₂は整数、c₀、c₁、c₂は自然数とする。)
f(n)＝ b₀/c₀ +nb₁/c₁ +n(n-1)b₂/2c₂
　　＝(c₁c₂b₀ +nc₀c₂b₁ +n(n-1)c₀c₁b₂/2)/c₀c₁c₂
f(n +1)＝(c₁c₂b₀ +(n +1)c₀c₂b₁ +(n +1)nc₀c₁b₂/2)/c₀c₁c₂
f(n +2)＝(c₁c₂b₀ +(n +2)c₀c₂b₁ +(n +2)(n +1)c₀c₁b₂/2)/c₀c₁c₂
ここで、
f(n +1)-f(n)＝(c₀c₂b₁ +nc₀c₁b₂)/c₀c₁c₂
f(n +2)-f(n+1)＝(c₀c₂b₁ +(n +1)c₀c₁b₂)/c₀c₁c₂
さらに
{f(n +2)-f(n+1)}-{f(n +1)-f(n)}＝c₀c₁b₂/c₀c₁c₂＝b₂/c₂
この式の左辺は整数であるから、右辺も整数であることが必要。よってc₂＝1

f(n)＝(c₁b₀ +nc₀b₁ +n(n-1)c₀c₁b₂/2)/c₀c₁
　　＝(c₁b₀ +nc₀b₁)/c₀c₁ + n(n-1)b₂/2
f(n)とn(n-1)b₂/2は整数であるから、以下が成り立つ。
(c₁b₀ +nc₀b₁)/c₀c₁＝(整数)...①
同様にしてf(n +1)、f(n +2)でも考えると
(c₁b₀ +(n +1)c₀b₁)/c₀c₁＝(整数)...②
(c₁b₀ +(n +2)c₀b₁)/c₀c₁＝(整数)...③
②-①より
c₀b₁/c₀c₁＝(整数)⇔b₁/c₁＝(整数)
よってc₁＝1である。
①より
(b₀ +nc₀b₁)/c₀＝(整数)⇔b₀/c₀ +nb₁＝(整数)
nb₁は整数であるから、b₀/c₀も整数。よってc₀＝1

以上より、 a₀、 a₁、 a₂は全て整数であることが示された。

質問があれば言ってください。

らんちゃん

遅くなってすいません😣💦⤵️
理解できました。丁寧にありがとうございました！😊

Answer 2

Qoou

(1)はnが偶数(2k)、奇数(2k+1)の時と場合分けしすると、3項目が上手く処理できると思います。(2)は分かりません。