Question

ゲスト

数③積分に関する質問です。x＝sinθとおいたり4分円の面積ということからπとなることは理解したのですが、なぜ下に書いたやり方ではダメなのかわかる方教えていただけると助かります。

な6との
てチタダメ なみか.、

Answer 1

カズヲ

(合成)微分の公式と積分の公式をごっちゃにしていますね。
√(4-x^2)を積分しても
(2/3)*(-2x)*(4-x^2)^(3/2)+C
にはなりません。
あなたが本当にやりたかったであろう方法を推測すると、t=4-x^2 とおいて置換積分、というような方法だと思います。
すると、
∫√(4-x^2) dx=∫√t (dx/dt) dt
dt/dx=-2x すなわち dx/dt=(-1/(2x))より
∫√(4-x^2) dx=∫√t (-1/(2x)) dt
となりますが、被積分関数がtについての形になっていません。
さらに、xはtの値による関数なので、xを定数扱いすることもできません。
よって、この方法では手詰まりとなり、ここからどうすることもできません。
これを無理やり進めようとすると、x=sinθやx=cosθなどと置換することになりますが、それでは上の手順は全くの無駄で、なら初めからx=sinθとおくべきだ、となります。

カズヲ

すみません、二重投稿になってしまいました。
最初の回答は無視してください。

Answer 2

カズヲ

(合成)微分の公式と積分の公式をごっちゃにしていますね。
√(4-x^2)を積分しても
(2/3)*(-2x)*(4-x^2)^(3/2)+C
にはなりません。
あなたが本当にやりたかったであろう方法を推測すると、t=4-x^2 とおいて置換積分、というような方法だと思います。
すると、
∫√(4-x^2) dx=∫√t (dx/dt) dt
dt/dx=-2x すなわち dx/dt=(-1/(2x))より
∫√(4-x^2) dx=∫√t (-1/(2x) dt
となりますが、被積分関数がtについての形になっていません。
さらに、xはtの値による関数なので、xを定数扱いすることもできません。
よって、この方法では手詰まりとなり、ここからどうすることもできません。
これを無理やり進めようとすると、x=sinθやx=cosθなどと置換することになりますが、それでは上の手順は全くの無駄で、なら初めからx=sinθとおくべきだ、となります。