Question

なず

固有方程式の展開式はどうしてこの解答の形ですか？

解がλ=λ_1, λ_2…なので、こうやって因数分解できるということまではわかるんですが、どうして分解して得た式は(λ_1-λ)…で、(λ-λ_1)…じゃないんですか？

よろしくお願いします。

問8.1.3   『 次正方行列 4 に対して,

 

固

 

 

 

有値を A,和ぅ,..

14| = AiA5…・。

-ぅAx。 とするとき次を示せ.

広島圏]

 

問 8.1.3 固有方程式を考えると,

4 - ハP| 99計59EEG二29

が成り立つ. ここで, ハー 0 とすると, |4| = AA …ス。.

線形代数 固有値 固有方程式

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

gößt

解がλ=λ₁, λ₂,⋯なので、固有方程式が
　k(λ-λ₁)(λ-λ₂)⋯(λ-λn)
となるところまでは問題ないと思います

あとはkですが、これは固有方程式のλⁿの係数を見て判断できます
|A-λE|を成分を用いて書き下すと
　|a₁₁-λ a₁₂ ⋯ a_1n |
　| a₂₁ a₂₂-λ ⋯ a_2n |
　| : : ⋱ : |
　| a_n1 a_n2 ⋯ a_nn-λ|
となります。これを見ると、|A-λE| を展開したときのλⁿの項は行列の対角成分の積
　(a₁₁-λ)(a₂₂-λ)⋯(a_nn-λ)
からしか出てこないことが分かり、よってλⁿの係数kは(-1)ⁿと定まります
したがって
　|A-λE|＝(-1)ⁿ(λ-λ₁)(λ-λ₂)⋯(λ-λn)＝(λ₁-λ)(λ₂-λ)⋯(λn-λ)
となります

なず

ありがとうございます！

なるほど、この展開って実はたやすくにはできるものじゃなかったんですね。展開して係数を比較しようかってちょっと思いついてはいたんですが、具体的にどうやって比較するかわからなかったです。結論がきれいなので覚えておきましょう。
あといつも思いますが、文字列で式を書くの得意ですね！

gößt

そうですね。実は|A-λE| を展開したときのλⁿ⁻¹の項も行列の対角成分の積からしか出てこないので、そこから
　tr(A)=λ₁+λ₂+⋯+λn
が得られます。det(A)=λ₁λ₂⋯λn とセットで覚えておくといいですね

数式を打ち込みで表現するのは、紙に書くのが面倒になった結果です(^-^;
たまに全部キーボードで済ませようとしてえらい読みにくくなったりしますが、きれいに読めているなら良かったです

なず

はい、それらはいつも検算で使ってますね！覚えやすくて使いやすいです。λⁿ⁻¹の項と関係があったんですね。ちょっとよくつかめないですが。

いつも読みやすいですよ。習ってみたいくらいです。