Question

ゲスト

素数が無限に存在することの証明です。

2枚目の写真の1行目、「rをqの、1ではない…」からがよくわかりません。qは集合Pの最小の要素なのですよね？
ならば、いくつかあるrのうち、最小のものがqといことですよね。
なぜ、「rをqの、1ではない、任意の約数」とすることができるのでしょうか？

それに続く2文目の「このとき、q|mなのでr|mが成り立つ。」もよくわかりません。
集合Pの定義のところで既にr|mとしているのに、なぜ、ここで初めてr|mが成り立った、みたいな書き方をしているのでしょうか？

全体的に証明の意図もぼんやりしています。

よろしくお願いします。

_ Zooみc を ルータを6 7 2だ ーグ
と222

|   和文数訳                                                  |

し訳せ また その命題が正しい
RMする次の和則を数にド                  L

 

ととが次のように数
2.14に より。 自徐 7 が数であるとと7 の5仙SA
ことがわかり ました。

12 Avz(zl2 g (のョ1ソ カニの)

ではこのょうな性質を満たす の が[無限にたくさん存在する] ことはと

うすればあらわすことができるでしょうか。
避    数学では, しばしば無限」の略記と レでooが用いられます。 が, 自然数
さ   論や実数諭においては。 Coは対象ではなく概念です。 ですから, カニのなど
と書いても意味をなしません。
[素数が無限に存在する」 という命題は。「どんなに大きな数を選んだとし
でも それより大きな素数が存在する] という命題に置き換えることができ
ます』ようで, 次のようにあらわせばよいのです%。

 
 
 
 
  
 
  
                                                                                                                                                                                                                                                                   
  

ツ ヨz(z<ヵ人 Vz(zl2 一> (=1 V の) )

との命題を証明するには, 与えられた任意の自然数ヵ に対して。 それよ
』り犬きな素数を証拠としして見つければよいですね。  実際に証明してみましょ
ら5                                          1
所AM
M ze07
ヵmd.上

  

   
                                                                                                                                                                                                                           
  
   

zoetw レニ27111とおくり。 次に集合P を。 とた

技人lan 信/誠

  
                                                                                                                                                                                                                                                                     

) 大きい素数であることを示そう。
数々で7 を割ると。必ず1余る5/

提は不要にな           6      croな 貫間
5 Am1x2xo            MGM

  

1でないヵ以下の自私

還間 ニレーチレコ 。

                    に                 wezoww

のG:  <7である| を4 の, 1ではない

> 任准の約角としょう。との
とき, | なので 7 が成り立っ。 よって, こりでてある。 7はアの最小
忌であることから, 4 でなければはならない。 したがって, 7はヵより

大き な来数である。

ク

多

証拠は「これ] と具体的に指し示すと とができなくてもかまいません。た
Pb ?かののどちらかが証拠になる。ということを証明できれば。 実際

呈上ZIのとらら らが証拠になるのかを示さなくてもよいのです。 2

|

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

M

[1つ目の質問について]
この部分はqが素数であることを示しています。
qがもし素数でないとすると、約数r(≠1)が存在しますが、qの最小性よりr=qとなって、qが素数であることが示される、ということです。
集合Pを表すときにrを使っていますが、それとは別物と捉えていいと思います。lでもkでもなんでもいいのでただ文字として置きましょう。

[2つ目の質問について]
mがqで割り切れるなら、qの約数であるrでもmは割り切れるという意味です。
先ほども言いましたが、Pの定義のrとは別物と考えてください。

いずれも混同するようであれば、違う文字で置くことを推奨します。

[全体的な証明の意図について]
・「素数が無限に存在する」→「どんなに大きな数を選んだとしても、それより大きな素数が存在する」
つまり「無限」の証明→「上には上がいる」証明にチェンジ！
・任意の自然数nで割り切れない数をm=n!+1とする。
・1以外の数で、かつmを割り切る数の集合をPとする。
・m∈PよりPは空集合ではないので最小の要素qが存在。
・mは1〜nでは割り切れないけどqでは割り切れる→n<q。
・qが素数であることを示す。

以上より、nをどんなに大きな数にしても、n<qとなる素数qが存在することが示された。

ゲスト

なるほど〜。とてもわかりやすい回答で、スッキリしました。本当にありがとうございました。