Question

ジン

以下の積分は内積＝0とみなすことができるらしいですが、何故でしょうか？

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

gößt

これは大学数学の話題ですね。線形代数学とか関数解析と呼ばれる分野に属する話です。いきなりこの部分から理解するのは少し難しいかもしれませんが説明してみます

まず、線形代数学ではベクトルの概念をもっと広げて考えます。高校数学だと平面ベクトルとか空間ベクトルなどを扱いますが、ベクトルの本質は足し算と実数倍ができるところにあると考え、この２つの演算(和と実数倍)を備えている対象は何でもベクトルとみなそうという考え方です

例えば、多項式は
　(ax²+bx+c)+(dx+e)＝ax²+(b+d)x+(c+e)
k(ax²+bx+c)＝kax²+kbx+kc
のように和と実数倍が定義できるのでベクトルと考えられます。別の例として、-1≦x≦1 で定義された関数なんかも f(x)+g(x), kf(x) が定義できるのでやはりベクトルとみなせます

ベクトルの概念を拡張すると、それに合わせて内積の概念も拡張する必要が出てきます。線形代数学では内積というものを
　①交換法則
　②分配法則
　③実数倍との結合法則
　④自分との内積は0以上
などが成り立つ演算と捉えます
ここでさっきのベクトルの例f(x), g(x)に対して
　∫[-1,1]f(x)g(x)dx
という演算を考えてみると、
　∫[-1,1]f(x)g(x)dx＝∫[-1,1]g(x)f(x)dx
　∫[-1,1]f(x)(g(x)+h(x))dx＝∫[-1,1]f(x)g(x)dx+ ∫[-1,1]f(x)h(x)dx
　k∫[-1,1]f(x)g(x)dx＝∫[-1,1](kf(x))g(x)dx
　∫[-1,1]f(x)f(x)dx＝∫[-1,1]f(x)²dx≧0
というように上で挙げた性質を全て満たしています。よってこの演算は内積とみなせるわけです

ジン

なるほど…！！
とはなかなかいきませんでしたが、
すなわちこれはベクトルと内積のアナロジーということですね！！
もしf(x)が二次関数x^+ax+bで任意の一次以下の多項式がg(x)だとすると、f(x)が垂線の足となるようなa、bを求めるって言うイメージですかね？

また、∮[-1,1](x^+cx+d)^dxを最小にするcとdは、上の二次関数f(x)を用いて、∫[-1,1]f(x)²dxとみなして、
二乗はベクトルでいう長さなので、答えは上の問題のaとb、すなわちa＝c、b＝dになるということですか？
数学って面白いですね

gößt

そういうことですね
その例ですとf(x)は原点から平面x=1(={(1,a,b)|a,bは実数})に下ろした垂線の足と考えられるいったところでしょうか
確かにこういったアナロジーができる点は数学の面白いところですね

ジン

ありがとうございました😊
とても面白い話でした！

Answer 2

clover26

Xの奇数乗の時＝0になります。
面積で考えるとわかるんですけど、面積がプラスとマイナスに同じ面積だけ出てお互いを消しあって0になります。f(x)を(x)でいつも通り解いてみてください
1の2乗-(-1)の2乗=0になるはずです。
同じ容量でXの偶数乗は2∮0からaに変換できます

↓の写真を参考にお願いします🤲
わかりづらくてすいません... -.-

Answer 3

Hs

情報が少なすぎてなんとも言えませんねー
自分がそう聞かれてずっと答えられるような質問文にしましょう。

ただ考えられるのは関数の積が奇関数になればゼロになります。
もしくはそもそも積がゼロか